Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben:
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Inhaltsverzeichnis
1. Einführung 1
1.1 Problemstellung und Beispiele 1
1.2 Abgrenzung 10
1.3 Klassifikation 12
2. Optimalitätsbedingungen 15
2.1 Theoretische Grundlagen 15
2.1.1 Konvexe Mengen 15
2.1.2 Konvexe Funktionen 22
2.1.3 Projektionssatz 28
2.1.4 Trennungssätze 32
2.1.5 Farkas Lemma 37
2.2 Optimalitätskriterien 40
2.2.1 Tangentialkegel 41
2.2.2 Nichtlineare Restriktionen 48
2.2.3 Lineare Restriktionen 54
2.2.4 Konvexe Probleme 56
2.2.5 Fritz John Bedingungen 61
2.2.6 Bedingungen zweiter Ordnung C4
Aufgaben 69
3. Lineare Programme 77
3.1 Theoretische Grundlagen 77
3.1.1 Polyeder und Ecken 77
3.1.2 Dualität und Optimalität. 86
3.1.3 Eine Fehlerschranke von Hoffmaii 91
3.2 Der Simplex Schritt 96
3.3 Das Simplex Verfahren 103
3.4 Mehr zum Simplex Verfahren 107
3.4.1 Vermeidung von Zyklen 107
3.4.2 Start des Verfahrens 111
3.4.3 Aufdatierungstechniken 115
3.4.4 Zur Komplexität des Simplex Verfahrens 119
Aufgaben 120
x Inhaltsverzeichnis
4. Innere Punkte Methoden 129
4.1 Grundlagen 129
4.1.1 Der zentrale Pfad 129
4.1.2 Grundzüge der Inneren Punkte Verfahren 134
4.2 Pfad Verfolgungs Verfahren 141
4.2.1 Ein zulässiges Verfahren 142
4.2.2 Ein unzulässiges Verfahren 148
4.3 Semi Definite Programme 160
4.3.1 Einführung in Semi Definite Programme 160
4.3.2 Innere Punkte Methoden für Semi Definite Programmel66
4.4 Glättungsverfahren 175
4.4.1 Glättungsfunktionen 175
4.4.2 Globale Konvergenz eines Glättungsverfahrens 181
Aufgaben 187
5. Nichtlineare Optimierung 197
5.1 Quadratische Programme 197
5.1.1 Probleme mit Gleichheitsrestriktionen 197
5.1.2 Strategie der aktiven Menge für Ungleichungen 199
5.2 Penalty und Barriere Methoden 206
5.2.1 Penalty Methoden 206
5.2.2 Barriere Methoden 213
5.3 Exakte Penalty Funktionen 215
5.3.1 Eine Klasse nichtdifferenzierbarer Penalty Funktionen 215
5.3.2 Exaktheit bei konvexen Problemen 220
5.3.3 Exaktheit bei nichtlinearen Restriktionen 222
5.3.4 Exaktheit bei linearen Restriktionen 225
5.4 Multiplier Penalty Methoden 228
5.4.1 Gleichheitsrestringierte Probleme 228
5.4.2 Behandlung von Ungleichungen 231
5.5 SQP Verfahren 234
5.5.1 Newton Verfahren für nichtlineare Gleichungen 234
5.5.2 Lagrange Newton Iteration 239
5.5.3 Das lokale SQP Verfahren 243
5.5.4 Globalisierung von SQP Verfahren 249
5.5.5 Zur Wahl der Matrizen Hk 256
5.5.G Der Maratos Effekt 258
5.5.7 Ein modifiziertes SQP Verfahren 263
5.5.8 Globale Konvergenz des modifizierten SQP Verfahrens 274
5.6 Reduktionsmethoden 278
5.6.1 Reduktion bei linearen Gleichheitsrest.riktionen 279
5.6.2 Ein reduziertes Quasi Newton Verfahren 281
5.7 Verfahren der zulässigen Richtungen 285
5.7.1 Die Verfahren von Zoutendijk 285
5.7.2 Ein modifiziertes Verfahren von Topkins und Veinott . 289
Inhaltsverzeichnis xi
5.8 Projektionsverfahren 294
5.8.1 Primale Optimalitätsbedingungen 294
5.8.2 Projektionsverfahren als Fixpunktiteration 296
Aufgaben 302
6. Nichtglatte Optimierung 311
6.1 Motivation 311
6.2 Lagrange Dualität 314
6.2.1 Das duale Problem, schwache Dualität 315
6.2.2 Starke Dualität 321
6.3 Das konvexe Subdifferential 326
6.3.1 Das Subdifferential für reellwertige Funktionen 326
6.3.2 Das Subdifferential für erweiterte Funktionen 339
6.4 Regularisierungsverfahren 348
6.4.1 Moreau Yosida Regularisierung 349
6.4.2 Proximal Punkt Verfahren 356
6.4.3 Tikhonov Regularisierung 362
6.5 Grundlegende Methoden für nichtglatte Probleme 365
6.5.1 Die Subgradientenmethode 366
6.5.2 Schnittebenenmethoden 370
6.6 Das e Subdifferential 375
6.6.1 Konzept und Eigenschaften des e Subdifferentials . 375
6.6.2 Ein Modell Algorithmus 380
6.7 Bündle Verfahren 385
6.7.1 Innere Approximationen des e Subdifferentials 386
6.7.2 Ein implementierbares Bündle Verfahren 391
6.7.3 Globale Konvergenz 394
Aufgaben 402
7. Variationsungleichungen 411
7.1 Grundlagen 411
7.1.1 Definition und Beispiele 411
7.1.2 Monotone Funktionen 416
7.1.3 Existenz und Eindeutigkeitssätze 421
7.1.4 Verallgemeinerte KKT Bedingungen 425
7.2 Fixpunktverfahren 428
7.2.1 Ein einfaches Fixpunktverfahren 429
7.2.2 Das Extragradiontenverfahren 432
7.2.3 Ein modifiziertes Extragradientenverfahren 436
7.3 Gap Funktionen 443
7.3.1 Die (regularisierte) Gap Funktion 443
7.3.2 Die D Gap Funktion 448
7.4 Josephy Newton Verfahren 452
7.4.1 Das lokale, Josephy Newton Verfahren 452
7.4.2 Eine Globalisierung des Josephy Newton Verfahrens. 455
xii Inhaltsverzeichnis
7.5 Nichtglatte Newton Verfahren 458
7.5.1 Herleitung des Verfahrens 458
7.5.2 Globale Konvergenz 462
Aufgaben 466
Literaturverzeichnis 473
Sachverzeichnis 483 |
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