Funktionentheorie erkunden mit Maple:
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Berlin [u.a.]
Springer
2002
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Inhaltsverzeichnis Y
Einleitung IX
1 Die komplexen Zahlen 1
1.1 Historisches 1
1.2 Definition und Modelle komplexer Zahlen 3
Arithmetische Einführung der komplexen Zahlen 4
Die komplexen Zahlen als Unterring der 2x2 Matrizen 5
Die komplexen Zahlen als Restklassenring 6
Geometrische Einführung der komplexen Zahlen 6
1.3 Elementare Operationen und Regeln 6
1.4 Argument, geometrische Veranschaulichung 8
1.5 Wurzeln 11
1.6 Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion.. . 12
Maple Worksheets zu Kapitel 1 15
2 Topologische Grundlagen 39
2.1 Konvergenz von Folgen 39
2.2 Topologische Begriffe für Mengen und Punkte 41
2.3 Stetigkeit und Grenzwert 43
Grundeigenschaften stetiger Abbildungen 44
Grenzwerte 44
Satz von Weierstraß 45
2.4 Reihen und Potenzreihen 46
Potenzreihen 49
Maple Worksheets zu Kapitel 2 51
3 Komplexe Differenzierbarkeit 71
3.1 Definition und Grundregeln 71
3.2 Differentiation von Potenzreihen 73
3.3 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzier¬
barkeit 74
Cauchy Riemann Differentialgleichungen, Holomorphie 75
Konforme Abbildungen 76
3.4 Exponentialfunktion und Logarithmus 77
Allgemeine Potenzen 80
Cos, Sin, Tan, tan und Umkehrfunktionen 81
VI Inhaltsverzeichnis
Maple Worksheets zu Kapitel 3 83
4 Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz 101
4.1 Kurven 101
4.2 Kurvenintegrale 103
4.3 Hauptsatz 105
Hauptsatz (Cauchyscher Integralsatz, 1. Fassung) 106
Fundamentalsatz der Algebra 106
Hauptsatz (Cauchyscher Integralsatz, 2. Fassung) 114
Maple Worksheets zu Kapitel 4 115
5 Cauchysche Integralformel und Folgerungen 129
5.1 Integralformel 129
5.2 Potenzreihenentwicklung 131
5.3 Holomorphiekriterien 133
Satz von Morera 133
Identitätssatz 134
5.4 Integralformel für die Ableitungen 136
Abschätzung für Ableitungen und Koeffizienten 136
Satz von Liouville 137
Satz von Weierstraß II 138
Satz über Gebietstreue 139
Prinzip vom Maximum 140
Differentiation unterm Integral 141
Maple Worksheets zu Kapitel 5 143
6 Der globale Hauptsatz 163
6.1 Umlaufzahl, Zyklen 163
6.2 Der Hauptsatz für nullhomologe Zyklen 168
Maple Worksheets zu Kapitel 6 171
Inhaltsverzeichnis VII
7 Laurent Reihen, isolierte Singularitäten, Residuensatz .... 181
7.1 Laurent Reihen 181
7.2 Isolierte Singularitäten 185
Satz von Casorati Weierstraß 188
Berechnungsmethoden für Residuen 188
7.3 Residuensatz 190
Berechnung von Integralen mit Hilfe von Residuen .... 190
7.4 Argumentprinzip und Anwendungen 197
Logarithmisches Residuum 197
Satz von Rouche 199
Routh Kriterium 200
Maple Worksheets zu Kapitel 7 209
8 Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen 235
8.1 Möbius Transformationen 235
8.2 Joukowski Transformation 245
8.3 Harmonische Funktionen und das Dirichlet Problem 247
Komplexe Potentiale 249
Mittelwerteigenschaft 251
Prinzip vom Maximum, Poissonsche Integralformel .. . 252
Verpflanzungsprinzip 254
Maple Worksheets zu Kapitel 8 257
9 Die T Funktion 281
9.1 Zur r Funktion im Reellen 281
9.2 Die Gammafunktion im Komplexen 286
9.3 Stirling Formel 290
Maple Worksheets zu Kapitel 9 293
10 Anhang zu Maple 299
10.1 Ein erster Einstieg in Maple 299
10.2 Der Befehl interface 306
10.3 Die Initialisierungsdatei 308
10.4 Der Befehl transform 309
10.5 Eigene Pakete definieren 312
VIII Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis 315
Namen und Sachverzeichnis 317
Index zu Maple 323
Literaturverzeichnis 327
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