Struktur und Bedeutung: eine Einführung in die Systemtheorie für Psychologen ; zum Selbststudium und für den Gruppenunterricht
Gespeichert in:
| Beteilige Person: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Bern [u.a.]
Huber
1998
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| Ausgabe: | 2., korr. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Aus dem Programm Huber: Psychologie-Lehrbuch
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| Umfang: | XVIII, 450 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 3456830807 |
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| adam_text | Titel: Struktur und Bedeutung
Autor: Bischof, Norbert
Jahr: 1998
Inhalt
1. Kybernetik 1
1.1 Die Anfänge 1
1.1.1 Beinahe ein Paradigmenwechsel 1
1.1.1.1 Probleme mit der Interdisziplinarität 1
1.1.1.2 Unzulängliche Definitionsversuche 2
1.1.2 Wichtige Stichworte 3
1.1.2.1 Steuerung 3
1.1.2.2 Regelung 5
1.1.2.3 Information 6
1.1.2.4 Kommunikation 9
1.1.2.5 Signal 10
1.1.2.6 Modell 11
1.2 Kybernetik als Universalwissenschaft 12
1.2.1 Allgemeiner Überblick 12
1.2.1.1 Zum Begriff des Systems 12
1.2.1.2 Die proxünate und die ultimate Betrachtungsebene 13
1.2.1.3 Der Anspruch auf Universalität 14
1.2.2 Die Abstraktion von der Qualität 15
1.2.2.1 Gesetz 15
1.2.2.2 Qualität 16
1.2.2.3 System 18
1.2.2.4 Universalität 19
1.2.3 Der Sinn der systemtheoretischen Abstraktion 20
1.2.3.1 Systemsynthese 20
1.2.3.2 Systemanalyse 21
1.2.4 Die Unterspezifikation der Kausalität 23
1.2.4.1 Die Lehre von den vier Ursachen 23
1.2.4.2 Konditionalität 23
1.2.4.3 Kausalität 24
1.2.4.4 Freiheit und Unterspezifikation 25
1.2.4.5 Zusammenfassung: Die beiden Signalkriterien 27
1.3 Wirkungsgefüge 28
1.3.1 Der Begriff der Wirkung 28
1.3.1.1 Explizite und implizite Funktionen 28
1.3.1.2 Steuerung 29
1.3.1.3 Blockschaltbild und Flußdiagramm 31
1.3.2 Darstellungsregeln 33
1.3.2.1 Eingänge, Ausgänge, Verzweigungen 33
1.3.2.2 Darstellungsfehler 34
1.3.2.3 Energie-und Massenflüsse 36
1.3.2.4 Eine frühe Formulierung des Regelungsprinzips 37
1.3.2.5 MASON-Diagramme 38
1.4 Kybernetik und Organetik 39
1.4.1 Organetik 39
1.4.1.1 Der gerätetechnische Aspekt 39
1.4.1.2 Die heuristische Bedeutung der Organetik 40
1.4.1.3 Übersichtspläne und Wirkungspläne 40
1.4.2 Kybernetische Modelle 42
1.4.2.1 Allgemeines zum Modellbegriff 42
1.4.2.2 Hypothetische und heuristische Wirkungsgefüge 43
1.4.2.3 Organetische Modelle 43
2. Informationstheorie 45
2.1 Mengen und Räume 45
2.1.1 Abbildung 45
2.1.1.1 Menge 45
2.1.1.2 Homomorphie und Isomorphie 46
2.1.1.3 Struktur 47
2.1.2 Abstand 49
2.1.2.1 Anschauliche Einführung 49
2.1.2.2 Die mathematische Abstandsdefinition 50
2.1.2.3 Metrische Räume 52
2.1.3 Nachbarschaft 52
2.1.3.1 Topologische Abbildungen 52
2.1.3.2 Dimension 53
2.1.3.3 Psychologische Beispiele für topologische Räume 55
2.1.4 Variablen 57
2.1.4.1 Variablen und Funktionen 57
2.1.4.2 Skalierung 58
2.2 Information 59
2.2.1 Die informationstheoretische Beschreibung einer Quelle 59
2.2.1.1 Informationstheorie 59
2.2.1.2 Inventar und Quelle 60
2.2.1.3 Entscheidungsgehalt 61
2.2.1.4 Entropie 62
2.2.1.5 Redundanz 63
2.2.2 Die informationstheoretische Beschreibung eines Kanals 64
2.2.2.1 Sender, Empfänger, Kanal 64
2.2.2.2 Information und Abbildung 65
2.2.2.3 Dissipation und Äquivokation 66
2.2.2.4 Transinformation und Verbundentropie 68
2.2.2.5 VENN-Diagramme 69
2.2.3 Das Problem der Übertragung von Information 70
2.2.3.1 Informationsfluß 70
2.2.3.2 Das Problem der Informationserhaltung 71
2.2.3.3 Latente und manifeste Information 72
2.2.3.4 Informationsverarbeitung 75
2.2.3.5 Irreversible Informationsvernichtung 75
3. Strukturelle Systemanalyse 78
3.1 Erläuterungen zum Signalbegriff 78
3.1.1 Taxonomie der Signale 78
3.1.1.1 Wirkgrößen und Hilfsgrößen 78
3.1.1.2 Observableundlnferable 80
3.1.1.3 Exkurs über hypothetische Konstrukte und intervenierende Variablen 81
3.1.1.4 Skalare und Vektoren 82
3.1.1.5 Individuelle und kollektive Variablen 83
3.1.1.6 Variablen und Beider 84
3.1.2 Formen der Interdependenz 87
3.1.2.1 Systemtheorie und Feldtheorie 87
3.1.2.2 Rückwirkung und Rückführung 88
3.1.2.3 Psychologie und Systemtheorie 89
3.1.2.4 Virtuelle Rückwirkungsfreiheit 91
3.2 Grandoperationen der strukturellen Systemanalyse 92
3.2.1 Die Komplexität von Wirkungsgefügen 92
3.2.1.1 Das Prinzip der progressiven Differenzierung 92
3.2.1.2 Komplexitätsmaße 94
3.2.1.3 Explizite und implizite Wirkungsgefüge 95
3.2.2 Manipulation und Aufschneidung 97
3.2.2.1 Indirekte und direkte Wirkung 97
3.2.2.2 Gefühlstheorien 98
3.2.2.3 Nystagmus 101
3.2.2.4 Reduktion von Wirkungsgefügen 104
4. Stationäre Systemanalyse I: Kennlinien 106
4.1 Einführung 106
4.1.1 Gliederung der proximaten Systemtheorie 106
4.1.1.1 Strukturelle Systemanalyse 106
4.1.1.2 Quantitative Systemanalyse 107
4.1.2 Nichtlinearität 109
4.1.2.1 Das Superpositionsprinzip 109
4.1.2.2 Nichtlineare Wirkungsgefüge 110
4.1.2.3 Additions- und Multiplikationssymbole 111
4.1.2.4 Nichüineare Kennlinien 112
4.1.2.5 Richtcharakteristiken 113
4.2 Exemplarische Probleme der Kennlinienbestimmung 114
4.2.1 Experimentelle Ermittlung von Kennlinien 114
4.2.1.1 Die adäquate Reizung des Gleichgewichtsorgans 114
4.2.1.2 Die Argumentation von MAGNUS 116
4.2.1.3 Die Lösungsidee VON HOLSTs 117
4.2.1.4 Richtcharakteristik des Statolithenapparates 121
4.2.2 Algebraisierung von Kennlinien 123
4.2.2.1 Richtungssensible Rezeptoren 123
4.2.2.2 Soziale Distanz 125
4.2.3 Systemtheoretische Begründung von Kennlinien 128
4.2.3.1 Die Anomalie der Augenrollung 128
4.2.3.2 Die psychophysischen Maßformeln von Weber, Fechnerund Stevens ...130
5. Stationäre Systemanalyse II: Homöostase 136
5.1 Der Begriff der Homöostase 136
5.1.1 Mißverständnisse 136
5.1.1.1 Defizitmotivation und Anastase 136
5.1.1.2 Neugier und das homöostatische Prinzip 137
5.1.1.3 Lagereflexe und Willkürbewegungen 138
5.1.2 Definition des homöostatischen Systems 140
5.1.2.1 Effektfreie Wirkungsbeziehungen 140
5.1.2.2 Homöostase und Konstanz 142
5.2 Die homöostatische Masche 143
5.2.1 Zwei einführende Beispiele 143
5.2.1.1 Ereismatische und teleokinetische Motorik 143
5.2.1.2 Reafferenzprinzip 144
5.2.2 Die Stabilisierung der anschaulichen Vertikalen 147
5.2.2.1 Das AUBERTsche Phänomen 147
5.2.2.2 Die Bikomponententheorie 149
5.2.2.3 Drehtransformation von Koordinatensytemen 150
5.2.2.4 Eine Erklärungshypothese für das AUBERT-Phänomen 152
5.3 Rückkoppelung 156
5.3.1 Der homöostatische Kreis 156
5.3.1.1 Aufbau des Regelkreises 156
5.3.1.2 Die Blickfolgeregelung 158
5.3.2 Nichthomöostatische Rückkoppelungen 159
5.3.2.1 Dysfunktionelle Effekte 159
5.3.2.2 FunktioneUe Effekte 160
6. Dynamische Systemanalyse I: Differenzengleichungen 162
6.1 Vorübung zur Regelungsdynamik 162
6.1.1 Ein einfaches Simulationsspiel 162
6.1.1.1 Diskretisation der Zeit 162
6.1.1.2 DerSpielplan 162
6.1.1.3 Ergebnisse und erste Folgerungen 165
6.1.2 Verstärkung und Schwingung 166
6.1.2.1 Untersteuerung im Regler 166
6.1.2.2 Der allgemeine Verstärkungsfaktor 168
6.1.2.3 Berechnung der Stabilitätsgrenze 169
6.2 Verzögerung erster Ordnung 170
6.2.1 Gleitreibung 170
6.2.1.1 Ein mechanisches Modell für Verstärkung 170
6.2.1.2 Einführung eines Stoßdämpfers 171
6.2.2 Differenzengleichungen 173
6.2.2.1 Der A-Operator 173
6.2.2.2 Rekursionsformel für die Differenzengleichung 174
6.2.2.3 Geometrische Interpretation der Zeitkonstante 175
6.2.2.4 Die Übergangsfolge 176
6.2.3 Beispiele für gedämpfte Prozesse 177
6.2.3.1 Eine probabilistische Interpretation 177
6.2.3.2 Ein Modell für Prägung 179
6.2.4 Verzögerung im Regelkreis 182
6.2.4.1 Regler mit Verzögerung 182
6.2.4.2 Strecke mit Verzögerung 184
6.2.4.3 Berechnung des stationären Zustandes 186
6.3 Berechnung der Stabilität 187
6.3.1 Zum Begriff der Varianz 187
6.3.1.1 Definition 187
6.3.1.2 Einfache Rechenregeln 188
6.3.2 Varianz und Stabilität 189
6.3.2.1 Herleitung der Grundformel 189
6.3.2.2 Anwendung auf ein Beispiel 190
6.3.2.3 Stabilität bei positiver Rückkoppelung 191
6.4 Verzögerung zweiter Ordnung 192
6.4.1 Trägheit 192
6.4.1.1 Erweiterung des mechanischen Grundmodells 192
6.4.1.2 Differenzen höherer Ordnung 193
6.4.2 Vergleich der Verzögerungen 1. und 2. Ordnung 194
6.4.2.1 Berechnung der Übergangsfolge 194
6.4.2.2 Geometrische Interpretation der 2. Zeitkonstante 195
6.4.2.3 Zur generellen Bedeutung der dynamischen Grundkategorien 196
7. Dynamische Systemanalyse II: Operatorenrechnung 198
7.1 Einführung in die Operatorenrechnung 198
7.1.1 Der Begriff des Operators 198
7.1.1.1 Eine scheinbar paradoxe Schreibweise 198
7.1.1.2 Blöcke als Funktionen 199
7.1.1.3 Zeitfunktionen 200
7.1.1.4 Diskretisation und Begrenzung der Zeit 201
7.1.1.5 Funktionen und Operatoren 202
7.1.2 Rechnen mit Operatoren 204
7.1.2.1 Dynamisches Verhalten einer Kette 204
7.1.2.2 Zerlegung in eine Kette 205
7.1.2.3 Die Bedeutung komplexer Zahlen 206
7.1.2.4 Diskretisationsfehler 207
7.1.3 Weiterführende Überlegungen 208
7.1.3.1 Lineare Differenzengleichungen 208
7.1.3.2 Der Totzeit-Operator 210
7.1.3.3 Übergangsfolge von Regelkreisen 210
7.2 Proportional-, Integral- und Differentialregelung 212
7.2.1 Integralregelung 212
7.2.1.1 Bleibende Regelabweichung bei P-Reglern 212
7.2.1.2 Die Rolle der Elastizität 213
7.2.1.3 DerZ-Operator 214
7.2.1.4 Ein einfaches Anwendungsbeispiel 216
7.2.2 Proportional- und Integralverhalten 218
7.2.2.1 Unterscheidungskriterien 218
7.2.2.2 Gleitende Zwischenformen 219
7.2.2.3 Ein sinnesphysiologisches Beispiel 219
7.2.3 Folgeregelung 222
7.2.3.1 Führungsgrößen 222
7.2.3.2 Stationäres Verhalten der Folgeregelung 223
7.2.3.3 Dynamisches Verhalten der Folgeregelung 224
7.2.4 Differentialregelung 226
7.2.4.1 Richtungswechsel bei trägen Prozessen 226
7.2.4.2 Differentialglieder 227
7.2.4.2 Stabüitätsprobleme 228
7.2.4.3 PD-Regelung 229
8. Dynamische Systemanalyse III: Z-Transformation 233
8.1 Einfuhrung in die Z-Transformation 233
8.1.1 Vorbereitende Überlegungen 233
8.1.1.1 Auf der Suche nach den Hintergründen 233
8.1.1.2 Logarithmen als Modell 234
8.1.1.3 Zahlenfolgen und Dezimalbrüche 235
8.1.1.4 Transformation des A-Operators 237
8.1.1.5 Transformation zusammengesetzter Operatoren 238
8.1.2 Herleitung der Z-Transformation 239
8.1.2.1 Unzulänglichkeiten des Dezimalbruchmodells 239
8.1.2.2 Definition der Z-Transformation 240
8.1.2.3 Anwendung auf elementare Zeitreihen 241
8.1.2.4 Anwendung auf elementare Operatoren 242
8.1.3 Umkehr der Z-Transformation 243
8.1.3.1 Numerische Bestimmung des Ergebnisses 243
8.1.3.2 Partialbruchzerlegung 245
8.1.3.3 Einige Umformungen 247
8.1.3.4 Einfache und mehrfache Pole 248
8.1.3.5 Der Residuensatz 250
8.2 Anwendung der Z-Transformation 253
8.2.1 Periodische Prozesse 253
8.2.1.1 Übergangsfolge eines periodisch gedämpften Systems 253
8.2.1.2 Anwendung der MOlVREschen Formel 255
8.2.2 Stabilität von Regelkreisen 258
8.2.2.1 Aufgabestellung 258
8.2.2.2 Ausführung der Standardprozedur 259
8.2.2.3 Prozedurbeim Vorliegen eines Doppelpols 261
8.2.2.4 Die Bestimmung der Stabilitätsgrenze 264
8.2.2.5 Die Bestimmung der Stetigkeitsgrenze 265
8.2.2.6 Der periodische Fall 266
8.2.2.7 Diskussion und Beispiel 270
9. Ultimate Systemanalyse I: Optimalität 273
9.1 Einführung in die ultimate Fragestellung 273
9.1.1 Die Notwendigkeit einer teleonomen Ergänzung 273
9.1.1.1 Der Begriff der Störung und das Problem der Zweckmäßigkeit 273
9.1.1.2 Vitalismus 274
9.1.1.3 Zielstrebigkeit und Zweckmäßigkeit 275
9.1.2 Identität und Ganzheit 276
9.1.2.1 Auslösende und strukturierende Verursachung 276
9.1.2.2 Voraussetzungen ultimater Beschreibbarkeit 278
9.1.2.3 Ökosysteme und ihre Kerne 279
9.2 Der Begriff der Optimalität 282
9.2.1 Korrespondenz 282
9.2.1.1 Der Sonderstatus der Eignungsvariablen 282
9.2.1.2 Proximate Kodierung 283
9.2.1.3 Ultimate Kodierung 284
9.2.1.4 Quantifikation von Korrespondenz 285
9.2.2 Nähere Erläuterungen zum Begriff der Optimalität 286
9.2.2.1 Optimalprinzipien 286
9.2.2.2 Statistische Norm und Idealnorm 287
9.2.2.3 Potentialdarstellung 288
9.3 LAGRANGE-Multiplikatoren 290
9.3.1 Optimale Parameter 290
9.3.1.1 DerZustandsraum 290
9.3.1.2 Optimierung unter Randwertbedingungen 292
9.3.1.3 Herleitung der LAGRANGE-Funktion 293
9.3.1.4 Ein konkretes Beispiel 294
9.3.1.5 Ausblick auf die dynamische Optimierung 296
9.3.2 Optimierung im Regelkreis 297
9.3.2.1 Verallgemeinerung des dynamischen Problems 297
9.3.2.2 Bestimmung der optimalen Trajektorie 299
9.3.2.3 Bestimmung des optimalen Reglerverhaltens 301
9.4 Andere Optimierungsverfahren 304
9.4.1 Ein soziobiologisches Beispiel 304
9.4.1.1 Gewinn und Kosten 304
9.4.1.2 Empirische Herleitung der Optimierungsaufgabe 306
9.4.2 Das Lösungsverfahren 307
9.4.2.1 Das Grenzertragstheorem 307
9.4.2.2 Das Theorem der homogenen Konkurrenz 308
9.4.2.3 Fehler 312
10. Ultimate Systemanalyse II: Semantik 314
10.1 Einführung in die Theorie der Zeichen 314
10.1.1 Stimulation und Reaktion 314
10.1.1.1 Der Begriff der Stimulation und die kognitive Dimension 314
10.1.1.2 Der Begriff der Reaktion und die intentionale Dimension 316
10.1.2 Semiotik 317
10.1.2.1 Die triadische Grundbeziehung 317
10.1.2.2 Syntaktik 319
10.1.2.3 Semantik 320
10.1.2.4 Pragmatik 321
10.2 Pragmatik als Basis der Semantik 322
10.2.1 Empirische Paradigmen 322
10.2.1.1 Klassische Konditionierung 322
10.2.1.2 Die Bedeutungslehre J. von UEXKÜLLs 323
10.2.1.3 Semantisierung eines primitiven Verhaltensmusters 325
10.2.2 Nachrichten und Befehle 327
10.2.2.1 Semantische Komplementarität 327
10.2.2.2 Organetische und semantische Qualität 329
10.2.3 Semantik und Idealform 330
10.2.3.1 Das Problem der semantischen Reduktion 330
10.2.3.2 Idealisierte Wirkungsgefüge 331
10.2.3.3 Semantisierbarkeit von Signalen 332
10.3 Semantik und Homöostase 333
10.3.1 Die Bedeutung der Homöostase für die Eignungsoptimierung 333
10.3.1.1 Der Störungscharakter freier Eingänge 333
10.3.1.2 Quellen und Senken homöostatischer Entropie 335
10.3.1.3 Semantische Kontraktion von Wirkungsgefügen 336
10.3.2 Homöostatische Dyaden 337
10.3.2.1 Rauschen und Interferenz 337
10.3.2.2 Vernetzung homöostatischer Dyaden 338
10.3.2.3 Semantische Kodierung 339
10.4 Axiomatische Begründung der Semantik 340
10.4.1 Definition der Zeichenbedeutung 340
10.4.1.1 Allgemeiner Ansatz 340
10.4.1.2 Der diskrete Fall 342
10.4.1.3 Anwendung auf das ÜEXKÜLLsche Beispiel 344
10.4.1.4 Täuschung und Fehlleistung 345
10.4.2 Semantisierung im gestörten Kanal 345
10.4.2.1 Semantisierung bei Interferenz 345
10.4.2.2 Der entscheidungstheoretische Ansatz 347
10.4.2.3 Semantisierung bei Rauschen 349
10.5 Philosophische Implikationen 351
10.5.1 Semantik und das psychophysische Problem 351
10.5.1.1 Erlebnisinhalte als semantische Repräsentationen 351
10.5.1.2 Parallelismus und Wechselwirkung 352
10.5.1.3 Offene Eingänge und freie Ausgänge 353
10.5.1.4 Das sogenannte Interaktionsparadox 354
10.5.1.5 Die kausal-semantische Kontamination 356
10.5.2 Semantik und Erkenntnistheorie 357
10.5.2.1 Veridikalität 357
10.5.2.2 Valenz und Problem 358
10.5.2.3 Semantische Unterspezifikation 360
10.5.2.4 Semantische Verzerrung 361
10.5.2.5 Probleme der Klasseninklusion 362
10.5.2.6 Semantik, Kausalität und die Zeitdimension 363
11. Stationäre Systemanalyse III: Ultimate Heuristik 365
11.1 Das Rekonstruktionsprinzip 365
11.1.1. Das Problem der Wahrnehmungskonstanz 365
11.1.1.1 Semantik als heuristisches Prinzip 365
11.1.1.2 Distale und proximale Systemgrößen 366
11.1.2 Ausnutzung der distalen Redundanz 368
11.1.2.1 Die Unnötigkeit anschaulicher Korrespondenz 369
11.1.2.2 Rekonstruktionsprinzip und Konstanzannahme 370
11.1.3 Beispiele für Redundanzerwartungen 371
11.1.3.1 Bewegungsgradienten 371
11.1.3.2 Texturgradienten 372
11.1.3.3 Hauptachsen 373
11.2 Das Kompensationsprinzip 374
11.2.1 Das Problem der Wahrnehmungskonstanz 374
11.2.1.1 Systematische Störungen 374
11.2.1.3 Allgemeine Formulierung des Kompensationsprinzips 377
11.2.2 Ermittlung und Einspeisung von Kompensationssignalen 379
11.2.2.1 Efferente und afferente Heterokompensation 379
11.2.2.2 Afferente Autokompensation 380
11.2.2.3 Efferente Autokompensation 381
11.2.3 Topologie und Metrik der semantischen Kodierung 382
11.2.3.1 Das Skalenniveau semantischer Kodes 382
11.2.3.2 Spektren und Felder 383
11.2.3.2 Zur Topologie und Metrik des Farbenraumes 384
11.3 Das Korrekturprinzip 387
11.3.1 Die Methode der mehrfachen Sicherung 387
11.3.1.1 Äquivalenz und Kongruenz 387
11.3.1.2 Die Verarbeitung inkongruenter Signale 388
11.3.2 Semantik des Korrekturprinzips 390
11.3.2.1 Fehlerkorrektur 390
11.3.2.2 Bezeichnungsdimension und Gewichtsdimension 391
11.3.3 Heuristische Anwendung des Korrekturprinzips 392
11.3.3.1 Optisch-vestibuläre Bestimmung der anschaulichen Vertikalen 392
11.3.3.2 Das Experiment von BISCHOF SCHEERER 393
11.3.3.3 Das Problem derVierdeutigkeit 395
11.3.3.4 Afferente oder efferente Autokompensation? 396
11.3.3.5 Empirische Entscheidung 398
11.3.4 Korrektur und Kompensation 400
11.3.4.1 Grundsätzlicher Vergleich 400
11.3.4.2 Größenkonstanz 402
11.3.4.3 Das Linsenmodell von E. BRUNSWIK 407
12. Anhang: Mathematische Hilfsmittel 411
12.1 Rekapitulation von Formeln und Sätzen der Schulmathematik 411
12.1.1 Potenzen und Wurzeln 411
12.1.1.1 Parabeln 411
12.1.1.2 Quadratische Gleichungen und Binome 412
12.1.2 Exponentialfunktion und Logarithmen 412
12.1.2.1 Exponentialfunktion 412
12.1.2.2 Logarithmen 413
12.1.3 Trigonometrie 414
12.1.3.1 Winkel- und Arcusfunktionen 414
12.1.3.2 Addition und Subtraktion von Winkelfunktionen 416
12.1.4 Reihen 417
12.1.4.1 Endliche geometrische Reihen 417
12.1.4.2 Unendliche geometrische Reihen 418
12.1.4.3 Reihenentwicklung eines Bruches 418
12.2 Vektoren und Matrizen 420
12.2.1 Vektoren 420
12.2.1.1 Zusammengesetzte mathematische Objekte 420
12.2.1.2 Addition und Subtraktion von Vektoren 421
12.2.1.3 Freie und gebundene Vektoren 421
12.2.1.4 Produkt von Skalarund Vektor 422
12.2.2 Matrizen 422
12.2.2.1 Koordinatensysteme 422
12.2.2.2 Matrixmultiplikation 423
12.2.2.3 Rotation eines Vektors 425
12.2.2.4 Orthogonalität und Transposition 426
12.3 Differentialrechnung 427
12.3.1 Differentiation bei einer unabhängigen Veränderlichen 427
12.3.1.1 Grundidee der Differentiation 427
12.3.1.2 Einige wichtige Differentiationsformeln 428
12.3.1.3 Die besondere Rolle der EULERschen Zahl 429
12.3.1.4 Ableitung der Exponentialfunktion und des Logarithmus 430
12.3.1.5 Höhere Ableitungen 430
12.3.1.6 Differentialgleichungen 432
12.3.2 Differentiation bei mehreren unabhängigen Veränderlichen 434
12.3.2.1 Partielle Differentialquotienten 434
12.3.2.2 Das totale Differential 435
12.3.2.3 Differentiation impliziter Funktionen 436
12.4 Komplexe Zahlen 437
12.4.1 Allgemeine Einführung 437
12.4.1.1 Grundrechenarten 437
12.4.1.2 Die GAUSSsche Zahlenebene 438
12.4.2 Komplexe Zahlen und die Exponentialfunktion 439
12.4.2.1 Die MorVREsche Gleichung 439
12.4.2.2 Die EULERsche Gleichung 440
Literatur 442
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