Angewandte Tensorrechnung für Ingenieure, Physiker und Mathematiker:
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| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1996
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1. Einleitung 1
1.1 Raum, Zeit, Invarianz 1
1.2 Indizierte Größen 1
1.3 Summationskonvention 8
1.4 Indiziertes Summenzeichen, Kroneckersymbol 9
2. Skalare und Vektoren im euklidischen Raum 11
2.1 Linearer und metrischer Vektorraum, Skalarprodukt 11
2.2 Raumdimension, Basis, Koordinaten 17
2.3 Affine Basistransformation, Orientierung, Volumen 25
2.4 Metrische Grundgrößen 31
2.5 Permutationssymbole 35
2.6 Übungen 38
3. Tensoren 40
3.1 Definition und Beispiele 40
3.2 Tensorkoordinaten; Transformations und Ziehregel 41
3.3 Rechenregeln und Ergänzungen 45
3.3.1 Horizontale Isomeren 45
3.3.2 Direktes Produkt 45
3.3.3 Summen und Differenzen 46
3.3.4 Verjüngung und Überschiebung, lineare Tensorabbildung 46
3.3.5 Vektorprodukt und Spatprodukt 48
3.3.6 Affine Punktkoordinaten, Ortsableitungen 53
3.3.7 Zeitableitungen 55
3.3.8 Physikalische Maßeinheiten 57
3.4 Übungen 58
4. Dyaden (Tensoren 2. Stufe) 59
4.1 Beispiele 59
4.1.1 Nulldyade, Einsdyade, Permutationsdyade 59
4.1.2 Einige Stoffdyaden 59
4.1.3 Trägheitsdyade 60
4.1.4 Stoffunabhängige Dyaden der Kontinuumsmechanik .... 62
4.1.4.1 Einführung 62
X Inhalt
4.1.4.2 Geschwindigkeitsgradient,
Gauss Greenscher Integralsatz 63
4.1.4.3 Punkt Verschiebung und Verschiebungsgradient. . . 66
4.1.4.4 Cauchysche Spannungsdyade und technische
Spannungen 70
4.2 Allgemeine Eigenschaften 75
4.2.1 Symmetrische Dyaden 75
4.2.1.1 Dyadenquadrik 75
4.2.1.2 Hauptachsen 76
4.2.1.3 Mohrscher Kreis 79
4.2.1.4 Skalarinvarianten 81
4.2.1.5 Tensorfunktionen 84
4.2.2 Antimetrische Dyaden 86
4.2.3 Unitäre Dyaden 87
4.2.4 Reguläre, singuläre, inverse, definite und
semidefinite Dyaden 88
4.2.5 Dyadenzerlegungen 90
4.3 Anwendungen auf die Kontinuumsmechanik 93
4.3.1 Spannungen, Dreh und Formänderungsgeschwindigkeiten 93
4.3.2 Formänderungsleistung, Formänderungsarbeit,
Gleichgewicht 98
4.3.3 Formänderungen 101
4.4 Übungen 106
5. Krummlinige Koordinaten 109
5.1 Mannigfaltigkeiten 109
5.1.1 Parametermannigfaltigkeit 109
5.1.2 Grundmannigfaltigkeit (Körper, Fläche, Kurve) und
Tangentialraum 110
5.1.3 Metrik 114
5.1.4 Ergänzungen 117
5.2 Beispiele 119
5.2.1 Affine Koordinaten 119
5.2.2 Polarkoordinaten und Kreiszylinder 120
5.2.3 Kugelkoordinaten und Kugeln 124
5.2.4 Tordierte (mitgeschleppte) Koordinaten,
tordierter Kreiszylinder 125
5.2.5 Schalenkoordinaten, Schalen 128
5.3 Stokesscher Integralsatz und Anwendungen; Einbettbarkeit ... 131
5.4 Übungen 138
6. Christoffelsymbole 141
6.1 Abrollen und Abwickeln 141
6.2 Beispiele 145
Inhalt XI
6.2.1 Affine Koordinaten 145
6.2.2 Polarkoordinaten und Kugelkoordinaten 146
6.2.3 Tordierter, elastisch plastischer Kreiszylinder unter
Eigenspannungen; Inkompatibilität 147
6.3 Weitere Betrachtungen 151
6.3.1 Christoffelsymbole 1. und 2. Art 151
6.3.2 Transformationsregeln; Cartanscher Tensor,
Versetzungsdichte und Burgersvektor 152
6.3.3 Zusammenhang mit dem metrischen Grundtensor 155
6.4 Übungen 156
7. Tensorableitungen 158
7.1 Kovariante Ortsableitung, affiner Zusammenhang 158
7.2 Krümmungsmaße 163
7.2.1 Äußere Krümmungen 163
7.2.2 Innere Krümmungen 166
7.3 Zeitableitungen 169
7.3.1 Punktgeschwindigkeit und Punktbeschleunigung in einer
starren Mannigfaltigkeit 169
7.3.2 Partielle und totale Zeitableitungen in starren
Mannigfaltigkeiten 171
7.3.3 Anfangs und Momentankonfiguration einer zeitlich
veränderlichen Mannigfaltigkeit 172
7.3.4 Punktgeschwindigkeit und Punktbeschleunigung in einer
zeitlich veränderlichen Mannigfaltigkeit 178
7.3.5 Zeitableitungen von Tensoren in veränderlichen
Mannigfaltigkeiten 180
7.4 Übungen 186
8. Weitere Anwendungen 188
8.1 Vorbemerkungen 188
8.1.1 Allgemeines 188
8.1.2 Differentialoperatoren 189
8.1.3 Über die Formulierung von Gleichungen für veränderliche
Kontinua 191
8.2 Ruhende Kontinua; bewegte Kontinua in
Eulerscher Betrachtungsweise 192
8.2.1 Elektromagnetische Felder in ruhenden Körpern 192
8.2.2 Temperatur, Wärme, Entropie 196
8.2.3 Mechanisches Spannungsgleichgewicht, Formänderungs¬
geschwindigkeiten und Kompatibilitätsbedingungen 197
8.2.4 Flüssigkeiten und Gase 199
8.2.5 Starrplastisches Material 203
XII Inhalt
8.3 Kontinua in der aktuellen (updated)
Lagrangeschen Betrachtungsweise 207
8.3.1 Elektromagnetische Felder in veränderlichen Körpern . . . 207
8.3.2 Formänderungen, Formänderungs und
Spannungsgeschwindigkeiten 210
8.3.3 Elastisches und reversibles Materialverhalten 214
8.3.4 Elastisch plastisches Materialverhalten 217
8.4 Kontinua in der bezogenen (total) Lagrangeschen
Betrachtungsweise 219
8.4.1 Übertragungshypothesen 219
8.4.2 Parallelverschiebungshypothese und Piolaspannungen . . . 222
8.4.3 Mitschlepphypothese und Kirchhoffspannungen 224
8.4.4 Gegenschlepphypothese 227
8.4.5 Abschließende Bemerkungen 228
8.5 Übungen 229
9. Lösungen der Übungsaufgaben 232
Literatur 259
Sachverzeichnis 261
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