Mathematik-Vorkurs: Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger
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1 Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen 11
1.1 Aufbau des Zahlensystems 11
1.2 Abgeleitete Rechenregeln 16
1.3 Übungsaufgaben 24
2 Potenzen und Wurzeln 33
2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 33
2.2 Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten 34
2.3 Potenzen mit reellen Exponenten 38
2.4 Zusammenfassung 39
2.5 Übungsaufgaben 40
3 Logarithmen 45
3.1 Begriff des Logarithmus 45
3.2 Logarithmengesetze 46
3.3 Zusammenfassung 48
3.4 Übungsaufgaben 49
4 Goniometrie 52
4.1 Elementargeometrie 52
4.2 Die Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck 60
4.3 Die Winkelfunktionen am Einheitskreis 61
4.4 Sinus und Kosinussatz 66
4.5 Trigonometrische Formeln 68
4.6 Übungsaufgaben 70
5 Komplexe Zahlen 74
5.1 Summe und Differenz 76
5.2 Produkt 77
5.3 Quotient 78
5.4 Übungsaufgaben 79
6 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten 81
6.1 Übungsaufgaben 87
7 Einige Grundbegriffe der mathematischen Logik 95
7.1 Aussage, Wahrheitswert, Aussageform 95
7.2 Verknüpfung von Aussagen (Aussagenfunktionen) 96
7.3 Beziehungen zwischen den Aussagenfunktionen 100
7.4 Existenz und Universalaussagen 101
7.5 Notwendige und hinreichende Bedingung 102
7.6 Übungsaufgaben 103
8 Inhalt
8 Beweismethoden 104
8.1 Der direkte Beweis 104
8.2 Der indirekte Beweis 104
8.3 Beweis durch vollständige Induktion 105
8.4 Übungsaufgaben 107
9 Grundbegriffe der Mengenlehre 108
9.1 Der Begriff der Menge 108
9.2 Relationen zwischen Mengen 109
9.3 Operationen mit Mengen 110
9.4 Abbildungen 114
9.5 Übungsaufgaben 118
10 Kombinatorik Binomischer Satz 120
10.1 Die Fakultät 120
10.2 Binomialkoeffizienten 120
10.3 Der binomische Satz 122
10.4 Kombinatorik 125
10.5 Übungsaufgaben 135
11 Lineare Algebra 138
11.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten 138
11.2 Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten 154
11.3 Beliebig viele Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten 162
11.4 Homogene Gleichungssysteme 167
11.5 Übungsaufgaben 168
12 Algebraische Gleichungen 175
12.1 Nichtlineare Gleichungen 175
12.2 Quadratische Gleichungen 177
12.3 Gleichungen dritten Grades 189
12.4 Wurzelgleichungen 194
12.5 Übungsaufgaben 196
13 Transzendente Gleichungen 204
13.1 Logarithmische Gleichungen 204
13.2 Exponentialgleichungen 207
13.3 Goniometrische Gleichungen 211
13.4 Übungsaufgaben 216
14 Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen 222
14.1 Ungleichungen 222
14.2 Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen 232
14.3 Übungsaufgaben 242
Inhalt 9
15 Elementare Funktionen 247
15.1 Zum Funktionsbegriff 247
15.2 Darstellung von Funktionen 247
15.3 Zu einigen elementaren Funktionen 249
15.4 Eigenschaften von Funktionen 254
15.5 Mittelbare Funktionen 257
15.6 Umkehrfunktionen 258
15.7 Übungsaufgaben 265
16 Analytische Geometrie der Ebene 268
16.1 Allgemeines 268
16.2 Länge und Anstieg einer Strecke 268
16.3 Verschiedene Formen der Gleichung einer Geraden 269
16.4 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden 271
16.5 Parallelverschiebung des Koordinatensystems 274
16.6 Der Flächeninhalt eines Dreiecks 275
16.7 Der Kreis 277
16.8 Die Ellipse 281
16.9 Die Hyperbel 283
16.10 Die Parabel 285
16.11 Übungsaufgaben 286
17 Vektorrechnung 290
17.1 Grundbegriffe 290
17.2 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem 293
17.3 Gerade und Ebene im Raum 298
17.4 Produkte von Vektoren 302
17.5 Übungsaufgaben 308
18 Zahlenfolgen 311
18.1 Einfuhrung 311
18.2 Begriff der Zahlenfolge 311
18.3 Grenzwerte von Zahlenfolgen 312
18.4 Berechnung von Grenzwerten 316
18.5 Übungsaufgaben 323
19 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 325
19.1 Grundlegende Begriffe 325
19.2 Sätze über Grenzwerte und Stetigkeit 331
19.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 332
19.4 Die Stetigkeit der elementaren Funktionen 333
19.5 Übungsaufgaben 334
10 Inhalt
20 Differentialrechnung 337
20.1 Differentialquotienten und Ableitung 337
20.2 Differentiationsregeln 345
20.3 Die Ableitung der elementaren Funktion 351
20.4 Extremwerte und Wendepunkte 357
20.5 Optimierungsprobleme 368
20.6 Übungsaufgaben 372
21 Integralrechnung 384
21.1 Das unbestimmte Integral 384
21.2 Das bestimmte Integral 3 87
21.3 Zwei Integrationsverfahren 390
21.4 Anwendungen der Integralrechnung 395
21.5 Übungsaufgaben 399
Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben 406
Sachverzeichnis 462
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