Availability: Höhere Mathematik für Ingenieure | Technische Universität München

Höhere Mathematik für Ingenieure: 5 Funktionalanalysis und partielle Differentialgleichungen : mit zahlr. Beispielen u. 91 Übungen, meist mit Lösungen

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Main Authors:	Burg, Klemens 1934- (Author), Haf, Herbert 1938- (Author), Wille, Friedrich 1925-2015 (Author)
Format:	Book
Language:	German
Published:	Wiesbaden Springer Vieweg 1993 Stuttgart Teubner [früher] 1993
Edition:	2., durchges. Aufl.
Series:	Studium
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Physical Description:	VII, 443 S.
ISBN:	3519129655

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adam_text	BURG/HAF/WILLE HOEHERE MATHEMATIK FUER INGENIEURE BAND V FUNKTIONALANALYSIS UND PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VON PROF. DR. RER. NAT. HERBERT HAF UNIVERSITAET KASSEL, GESAMTHOCHSCHULE 2., DURCHGESEHENE AUFLAGE MIT 49 FIGUREN, ZAHLREICHEN BEISPIELEN UND 91 UEBUNGEN, MEIST MIT LOESUNGEN B. G. TEUBNER STUTTGART 1993 INHALT FUNKTIONALANALYSIS 1 GRUNDLEGENDE RAEUME 1.1 METRISCHE RAEUME 2 1.1.1 DEFINITION UND BEISPIELE 2 1.1.2 TOPOLOGISCHE HILFSMITTEL 7 1.1.3 KONVERGENZ IN METRISCHEN RAEUMEN. VOLLSTAENDIGKEIT 8 1.1.4 BESTAPPROXIMATION IN METRISCHEN RAEUMEN 18 1.1.5 DER BANACHSCHE FIXPUNKTSATZ. ANWENDUNGEN 19 1.2 NORMIERTE RAEUME. BANACHRAEUME 30 1.2.1 LINEARE RAEUME 30 1.2.2 NORMIERTE RAEUME. BANACHRAEUME 34 1.3 SKALARPRODUKTRAEUME. HILBERTRAEUME 42 1.3.1 SKALARPRODUKTRAEUME 42 1.3.2 HILBERTRAEUME 50 1.3.3 EIN APPROXIMATIONSPROBLEM 54 1.3.4 DER ZERLEGUNGSSATZ 60 1.3.5 ORTHONORMALSYSTEME IN HILBERTRAEUMEN 67 1.3.6 FOURIERENTWICKLUNG IN HILBERTRAEUMEN 74 1.3.7 STRUKTUR VON HILBERTRAEUMEN 76 2 LINEARE OPERATOREN IN NORMIERTEN RAEUMEN 2.1 BESCHRAENKTE LINEARE OPERATOREN 8 1 2.1.1 STETIGKEIT UND BESCHRAENKTHEIT. OPERATORNORM 81 2.1.2 FOLGEN UND REIHEN VON BESCHRAENKTEN OPERATOREN 87 2.1.3 DIE NEUMANNSCHE REIHE. ANWENDUNGEN 88 2.1.4 LINEARE FUNKTIONALE IN NORMIERTEN RAEUMEN 95 2.1.5 DER RIESZSCHE DARSTELLUNGSSATZ 97 2.1.6 ADJUNGIERTE UND SYMMETRISCHE OPERATOREN 100 2.2 FREDHOLMSCHE THEORIE IN SKALARPRODUKTRAEUMEN 104 2.2.1 VOLLSTETIGE OPERATOREN 105 2.2.2 AUSGEARTETE OPERATOREN 108 2.2.3 DIE FREDHOLMSCHE ALTERNATIVE 111 2.2.4 DER FREDHOLMSCHE ALTERNATIVSATZ IN HILBERTRAEUMEN 112 2.2.5 DER FREDHOLMSCHE ALTERNATIVSATZ IN SKALARPRODUKTRAEUMEN . . 118 X INHALT 2.3 SYMMETRISCHE VOLLSTETIGE OPERATOREN 129 2.3.1 EIGENWERTE UND -ELEMENTE VOLLSTETIGER SYMMETRISCHER OPERATO- REN. FOURIERENTWICKLUNG 131 2.3.2 ZUSAMMENFASSUNG 140 2.3.3 ANWENDUNG AUF SYMMETRISCHE INTEGRALOPERATOREN 140 2.3.4 EIN STURM-LIOUVILLESCHES EIGENWERTPROBLEM 143 2.3.5 DAS SPEKTRUM EINES SYMMETRISCHEN OPERATORS 153 3 DER HILBERTRAUM L 2 (Q) UND ZUGEHOERIGE SOBOLEVRAEUME 3.1 DER HILBERTRAUM L 2 (Q) 161 3.1.1 MOTIVIERUNG 161 3.1.2 DEFINITION VON L 2 (Q) 163 3.1.3 EINBETTUNG VON ~() IN L 2 (Q) 165 3.1.4 RESTRIKTION UND NORMINVARIANTE ERWEITERUNG VON ^-FUNKTIO NALEN 172 3.1.5 PRODUKT VON L 2 -FUNKTIONALEN MIT STETIGEN FUNKTIONEN .... 173 3.1.6 DIFFERENTIATION IN L 2 (Q) 174 3.2 SOBOLEVRAEUME 179 3.2.1 DER SOBOLEVRAUM ,() 179 3.2.2 DER SOBOLEVRAUM ,() 181 3.2.3 ERGAENZUNGEN 183 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 4 EINFUEHRUNG 4.1 WAS IST EINE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNG? 187 4.1.1 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN BELIEBIGER ORDNUNG 187 4.1.2 BEISPIELE 189 4.1.3 HERLEITUNG VON PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 191 4.2 LINEARE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1-TER ORDNUNG 195 4.2.1 ZURUECKFUEHRUNG AUF SYSTEME GEWOEHNLICHER DIFFERENTIALGLEI- CHUNGEN 195 4.2.2 ANWENDUNG AUF DIE KONTINUITAETSGLEICHUNG 198 4.3 LINEARE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2-TER ORDNUNG 200 4.3.1 KLASSIFIKATION 200 4.3.2 SEPARATIONSANSAETZE 203 INHALT XI 5 HELMHOLTZSCHE SCHWINGUNGSGLEICHUNG UND POTENTIALGLEICHUNG 5.1 GRUNDLAGEN 206 5.1.1 HILFSMITTEL AUS DER VEKTORANALYSIS 206 5.1.2 RADIALSYMMETRISCHE LOESUNGEN 208 5.1.3 DIE DARSTELLUNGSFORMEL FUER INNENGEBIETE 210 5.1.4 MITTELWERTFORMEL UND MAXIMUMPRINZIP 216 5.1.5 FLAECHEN- UND VOLUMENPOTENTIALE 219 5.2 GANZRAUMPROBLEME 222 5.2.1 VOLUMENPOTENTIALE UND INHOMOGENE SCHWINGUNGSGLEICHUNG . 222 5.2.2 DIE SOMMERFELDSCHE AUSSTRAHLUNGSBEDINGUNG 230 5.2.3 DIE DARSTELLUNGSFORMEL FUER AUSSENGEBIETE 240 5.2.4 GANZRAUMPROBLEME 242 5.3 RANDWERTPROBLEME 246 5.3.1 PROBLEMSTELLUNGEN UND EINDEUTIGKEITSFRAGEN 247 5.3.2 SPRUNGRELATIONEN 253 5.3.3 LOESUNGSNACHWEISE MIT INTEGRALGLEICHUNGSMETHODEN 255 5.4 EIN EIGENWERTPROBLEM DER POTENTIALTHEORIE 272 5.4.1 DIE GREENSCHE FUNKTION ZUM DIRICHLETSCHEN INNENRAUMPRO- BLEM 272 5.4.2 EIGENWERTE UND EIGENFUNKTIONEN DES LAPLACEOPERATORS . . . 276 5.5 EINFUEHRUNG IN DIE METHODE DER FINITEN ELEMENTE (F. WILLE) 280 5.5.1 DIE FRECHET-ABLEITUNG 280 5.5.2 VARIATIONSPROBLEME 283 5.5.3 ELLIPTISCHE RANDWERTPROBLEME UND AEQUIVALENTE VARIATIONSPRO- BLEME 290 5.5.4 PRINZIP DER FINITE-ELEMENTE-METHODE (FEM) 296 5.5.5 DISKRETES VARIATIONSPROBLEM 298 5.5.6 BEISPIELE 304 5.5.7 AUSBLICK AUF WEITERE MOEGLICHKEITEN DER FINITE-ELEMENTE-ME- THODE 310 6 DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 6.1 RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEME 318 6.1.1 EIN RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEM MIT DIRICHLETSCHER RAND- BEDINGUNG 319 6.1.2 DIE EINDEUTIGKEITSFRAGE 321 6.1.3 LOESUNGSBESTIMMUNG MITTELS EIGENWERTTHEORIE 322 XII INHALT 6.2 EIN ANFANGSWERTPROBLEM 324 6.2.1 AUFGABENSTELLUNG 325 6.2.2 DIE GRUNDLOESUNG DER WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 325 6.2.3 LOESUNGSBESTIMMUNG MITTELS FOURIERTRANSFORMATION 326 7 DIE WELLENGLEICHUNG 7.1 DIE HOMOGENE WELLENGLEICHUNG 330 7.1.1 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 330 7.1.2 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 1 335 7.1.3 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 2 (METHOD OF DESCENT ) 341 7.1.4 DAS HUYGENSSCHE PRINZIP 344 7.1.5 BEMERKUNGEN ZU RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEMEN 346 7.2 DIE INHOMOGENE WELLENGLEICHUNG IM R 3 349 7.2.1 DAS DUHAMELSCHE PRINZIP 349 7.2.2 DIE KIRCHHOFFSCHE FORMEL 352 7.2.3 ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN 353 8 HILBERTRAUMMETHODEN 8.1 EINFUEHRUNG 357 8.1.1 EIN SCHWACHES DIRICHLETPROBLEM FUER DIE INHOMOGENE SCHWIN- GUNGSGLEICHUNG 357 8.1.2 NACHWEIS EINER SCHWACHEN LOESUNG 358 8.1.3 EIN AEQUIVALENTES SCHWACHES PROBLEM 361 8.2 DAS SCHWACHE DIRICHLETPROBLEM FUER LINEARE ELLIPTISCHE DIFFERENTIAGLEI- CHUNGEN 362 8.2.1 DAS KLASSISCHE DIRICHLETPROBLEM 362 8.2.2 DAS SCHWACHE DIRICHLETPROBLEM 363 8.2.3 EIN AEQUIVALENTES SCHWACHES PROBLEM 364 8.2.4 SCHWACHE LOESUNGEN BEI STRIKT POSITIVEN ELLIPTISCHEN DIFFEREN- TIALOPERATOREN 366 8.2.5 SCHWACHE LOESUNGEN BEI GLEICHMAESSIG ELLIPTISCHEN DIFFERENTIAL- OPERATOREN 368 8.2.6 EIGENWERTE UND -ELEMENTE DES SCHWACHEN DIRICHLETPROBLEMS 375 8.3 DAS SCHWACHE NEUMANNPROBLEM FUER LINEARE ELLIPTISCHE DIFFERENTIALGLEI- CHUNGEN 377 8.3. 1 EIN SCHWACHES NEUMANNPROBLEM FUER DIE INHOMOGENE SCHWIN- GUNGSGLEICHUNG 378 8.3.2 NACHWEIS EINER SCHWACHEN LOESUNG 384 8.3.3 AUSBLICK AUF DEN ALLGEMEINEN FALL 385 INHALT XIII 8.4 ZUR REGULARITAETSTHEORIE BEIM DIRICHIETPROBLEM 386 8.4.1 INNENREGULARITAET 387 8.4.2 RANDREGULARITAET 388 ANHANG , 395 LOESUNGEN ZU DEN UEBUNGEN 1 ) 400 SYMBOLE 427 LITERATURVERZEICHNIS 431 SACHVERZEICHNIS 439 ) ZU DEN MIT * VERSEHENEN UEBUNGEN WERDEN LOESUNGEN ANGEGEBEN ODER LOESUNGSWEGE SKIZZIERT. BURG/HAF/WILLE HOEHERE MATHEMATIK FUER INGENIEURE BAND V FUNKTIONALANALYSIS UND PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VON PROF. DR. RER. NAT. HERBERT HAF UNIVERSITAET KASSEL, GESAMTHOCHSCHULE 2., DURCHGESEHENE AUFLAGE MIT 49 FIGUREN, ZAHLREICHEN BEISPIELEN UND 91 UEBUNGEN, MEIST MIT LOESUNGEN B. G. TEUBNER STUTTGART 1993 INHALT FUNKTIONALANALYSIS 1 GRUNDLEGENDE RAEUME 1.1 METRISCHE RAEUME 2 1.1.1 DEFINITION UND BEISPIELE 2 1.1.2 TOPOLOGISCHE HILFSMITTEL 7 1.1.3 KONVERGENZ IN METRISCHEN RAEUMEN. VOLLSTAENDIGKEIT 8 1.1.4 BESTAPPROXIMATION IN METRISCHEN RAEUMEN 18 1.1.5 DER BANACHSCHE FIXPUNKTSATZ. ANWENDUNGEN 19 1.2 NORMIERTE RAEUME. BANACHRAEUME 30 1.2.1 LINEARE RAEUME 30 1.2.2 NORMIERTE RAEUME. BANACHRAEUME 34 1.3 SKALARPRODUKTRAEUME. 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ANWENDUNGEN 88 2.1.4 LINEARE FUNKTIONALE IN NORMIERTEN RAEUMEN 95 2.1.5 DER RIESZSCHE DARSTELLUNGSSATZ 97 2.1.6 ADJUNGIERTE UND SYMMETRISCHE OPERATOREN 100 2.2 FREDHOLMSCHE THEORIE IN SKALARPRODUKTRAEUMEN 104 2.2.1 VOLLSTETIGE OPERATOREN 105 2.2.2 AUSGEARTETE OPERATOREN 108 2.2.3 DIE FREDHOLMSCHE ALTERNATIVE 111 2.2.4 DER FREDHOLMSCHE ALTERNATIVSATZ IN HILBERTRAEUMEN 112 2.2.5 DER FREDHOLMSCHE ALTERNATIVSATZ IN SKALARPRODUKTRAEUMEN . . 118 X INHALT 2.3 SYMMETRISCHE VOLLSTETIGE OPERATOREN 129 2.3.1 EIGENWERTE UND -ELEMENTE VOLLSTETIGER SYMMETRISCHER OPERATO- REN. FOURIERENTWICKLUNG 131 2.3.2 ZUSAMMENFASSUNG 140 2.3.3 ANWENDUNG AUF SYMMETRISCHE INTEGRALOPERATOREN 140 2.3.4 EIN STURM-LIOUVILLESCHES EIGENWERTPROBLEM 143 2.3.5 DAS SPEKTRUM EINES SYMMETRISCHEN OPERATORS 153 3 DER HILBERTRAUM L 2 (Q) UND ZUGEHOERIGE SOBOLEVRAEUME 3.1 DER HILBERTRAUM L 2 (Q) 161 3.1.1 MOTIVIERUNG 161 3.1.2 DEFINITION VON L 2 (Q) 163 3.1.3 EINBETTUNG VON ~() IN L 2 (Q) 165 3.1.4 RESTRIKTION UND NORMINVARIANTE ERWEITERUNG VON ^-FUNKTIO NALEN 172 3.1.5 PRODUKT VON L 2 -FUNKTIONALEN MIT STETIGEN FUNKTIONEN .... 173 3.1.6 DIFFERENTIATION IN L 2 (Q) 174 3.2 SOBOLEVRAEUME 179 3.2.1 DER SOBOLEVRAUM ,() 179 3.2.2 DER SOBOLEVRAUM ,() 181 3.2.3 ERGAENZUNGEN 183 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 4 EINFUEHRUNG 4.1 WAS IST EINE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNG? 187 4.1.1 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN BELIEBIGER ORDNUNG 187 4.1.2 BEISPIELE 189 4.1.3 HERLEITUNG VON PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 191 4.2 LINEARE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1-TER ORDNUNG 195 4.2.1 ZURUECKFUEHRUNG AUF SYSTEME GEWOEHNLICHER DIFFERENTIALGLEI- CHUNGEN 195 4.2.2 ANWENDUNG AUF DIE KONTINUITAETSGLEICHUNG 198 4.3 LINEARE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2-TER ORDNUNG 200 4.3.1 KLASSIFIKATION 200 4.3.2 SEPARATIONSANSAETZE 203 INHALT XI 5 HELMHOLTZSCHE SCHWINGUNGSGLEICHUNG UND POTENTIALGLEICHUNG 5.1 GRUNDLAGEN 206 5.1.1 HILFSMITTEL AUS DER VEKTORANALYSIS 206 5.1.2 RADIALSYMMETRISCHE LOESUNGEN 208 5.1.3 DIE DARSTELLUNGSFORMEL FUER INNENGEBIETE 210 5.1.4 MITTELWERTFORMEL UND MAXIMUMPRINZIP 216 5.1.5 FLAECHEN- UND VOLUMENPOTENTIALE 219 5.2 GANZRAUMPROBLEME 222 5.2.1 VOLUMENPOTENTIALE UND INHOMOGENE SCHWINGUNGSGLEICHUNG . 222 5.2.2 DIE SOMMERFELDSCHE AUSSTRAHLUNGSBEDINGUNG 230 5.2.3 DIE DARSTELLUNGSFORMEL FUER AUSSENGEBIETE 240 5.2.4 GANZRAUMPROBLEME 242 5.3 RANDWERTPROBLEME 246 5.3.1 PROBLEMSTELLUNGEN UND EINDEUTIGKEITSFRAGEN 247 5.3.2 SPRUNGRELATIONEN 253 5.3.3 LOESUNGSNACHWEISE MIT INTEGRALGLEICHUNGSMETHODEN 255 5.4 EIN EIGENWERTPROBLEM DER POTENTIALTHEORIE 272 5.4.1 DIE GREENSCHE FUNKTION ZUM DIRICHLETSCHEN INNENRAUMPRO- BLEM 272 5.4.2 EIGENWERTE UND EIGENFUNKTIONEN DES LAPLACEOPERATORS . . . 276 5.5 EINFUEHRUNG IN DIE METHODE DER FINITEN ELEMENTE (F. WILLE) 280 5.5.1 DIE FRECHET-ABLEITUNG 280 5.5.2 VARIATIONSPROBLEME 283 5.5.3 ELLIPTISCHE RANDWERTPROBLEME UND AEQUIVALENTE VARIATIONSPRO- BLEME 290 5.5.4 PRINZIP DER FINITE-ELEMENTE-METHODE (FEM) 296 5.5.5 DISKRETES VARIATIONSPROBLEM 298 5.5.6 BEISPIELE 304 5.5.7 AUSBLICK AUF WEITERE MOEGLICHKEITEN DER FINITE-ELEMENTE-ME- THODE 310 6 DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 6.1 RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEME 318 6.1.1 EIN RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEM MIT DIRICHLETSCHER RAND- BEDINGUNG 319 6.1.2 DIE EINDEUTIGKEITSFRAGE 321 6.1.3 LOESUNGSBESTIMMUNG MITTELS EIGENWERTTHEORIE 322 XII INHALT 6.2 EIN ANFANGSWERTPROBLEM 324 6.2.1 AUFGABENSTELLUNG 325 6.2.2 DIE GRUNDLOESUNG DER WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 325 6.2.3 LOESUNGSBESTIMMUNG MITTELS FOURIERTRANSFORMATION 326 7 DIE WELLENGLEICHUNG 7.1 DIE HOMOGENE WELLENGLEICHUNG 330 7.1.1 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 330 7.1.2 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 1 335 7.1.3 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 2 (METHOD OF DESCENT ) 341 7.1.4 DAS HUYGENSSCHE PRINZIP 344 7.1.5 BEMERKUNGEN ZU RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEMEN 346 7.2 DIE INHOMOGENE WELLENGLEICHUNG IM R 3 349 7.2.1 DAS DUHAMELSCHE PRINZIP 349 7.2.2 DIE KIRCHHOFFSCHE FORMEL 352 7.2.3 ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN 353 8 HILBERTRAUMMETHODEN 8.1 EINFUEHRUNG 357 8.1.1 EIN SCHWACHES DIRICHLETPROBLEM FUER DIE INHOMOGENE SCHWIN- GUNGSGLEICHUNG 357 8.1.2 NACHWEIS EINER SCHWACHEN LOESUNG 358 8.1.3 EIN AEQUIVALENTES SCHWACHES PROBLEM 361 8.2 DAS SCHWACHE DIRICHLETPROBLEM FUER LINEARE ELLIPTISCHE DIFFERENTIAGLEI- CHUNGEN 362 8.2.1 DAS KLASSISCHE DIRICHLETPROBLEM 362 8.2.2 DAS SCHWACHE DIRICHLETPROBLEM 363 8.2.3 EIN AEQUIVALENTES SCHWACHES PROBLEM 364 8.2.4 SCHWACHE LOESUNGEN BEI STRIKT POSITIVEN ELLIPTISCHEN DIFFEREN- TIALOPERATOREN 366 8.2.5 SCHWACHE LOESUNGEN BEI GLEICHMAESSIG ELLIPTISCHEN DIFFERENTIAL- OPERATOREN 368 8.2.6 EIGENWERTE UND -ELEMENTE DES SCHWACHEN DIRICHLETPROBLEMS 375 8.3 DAS SCHWACHE NEUMANNPROBLEM FUER LINEARE ELLIPTISCHE DIFFERENTIALGLEI- CHUNGEN 377 8.3. 1 EIN SCHWACHES NEUMANNPROBLEM FUER DIE INHOMOGENE SCHWIN- GUNGSGLEICHUNG 378 8.3.2 NACHWEIS EINER SCHWACHEN LOESUNG 384 8.3.3 AUSBLICK AUF DEN ALLGEMEINEN FALL 385 INHALT XIII 8.4 ZUR REGULARITAETSTHEORIE BEIM DIRICHIETPROBLEM 386 8.4.1 INNENREGULARITAET 387 8.4.2 RANDREGULARITAET 388 ANHANG , 395 LOESUNGEN ZU DEN UEBUNGEN 1 ) 400 SYMBOLE 427 LITERATURVERZEICHNIS 431 SACHVERZEICHNIS 439 ) ZU DEN MIT * VERSEHENEN UEBUNGEN WERDEN LOESUNGEN ANGEGEBEN ODER LOESUNGSWEGE SKIZZIERT. BURG/HAF/WILLE HOEHERE MATHEMATIK FUER INGENIEURE BAND V FUNKTIONALANALYSIS UND PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VON PROF. DR. RER. NAT. HERBERT HAF UNIVERSITAET KASSEL, GESAMTHOCHSCHULE 2., DURCHGESEHENE AUFLAGE MIT 49 FIGUREN, ZAHLREICHEN BEISPIELEN UND 91 UEBUNGEN, MEIST MIT LOESUNGEN B. G. TEUBNER STUTTGART 1993 INHALT FUNKTIONALANALYSIS 1 GRUNDLEGENDE RAEUME 1.1 METRISCHE RAEUME 2 1.1.1 DEFINITION UND BEISPIELE 2 1.1.2 TOPOLOGISCHE HILFSMITTEL 7 1.1.3 KONVERGENZ IN METRISCHEN RAEUMEN. VOLLSTAENDIGKEIT 8 1.1.4 BESTAPPROXIMATION IN METRISCHEN RAEUMEN 18 1.1.5 DER BANACHSCHE FIXPUNKTSATZ. ANWENDUNGEN 19 1.2 NORMIERTE RAEUME. BANACHRAEUME 30 1.2.1 LINEARE RAEUME 30 1.2.2 NORMIERTE RAEUME. BANACHRAEUME 34 1.3 SKALARPRODUKTRAEUME. HILBERTRAEUME 42 1.3.1 SKALARPRODUKTRAEUME 42 1.3.2 HILBERTRAEUME 50 1.3.3 EIN APPROXIMATIONSPROBLEM 54 1.3.4 DER ZERLEGUNGSSATZ 60 1.3.5 ORTHONORMALSYSTEME IN HILBERTRAEUMEN 67 1.3.6 FOURIERENTWICKLUNG IN HILBERTRAEUMEN 74 1.3.7 STRUKTUR VON HILBERTRAEUMEN 76 2 LINEARE OPERATOREN IN NORMIERTEN RAEUMEN 2.1 BESCHRAENKTE LINEARE OPERATOREN 8 1 2.1.1 STETIGKEIT UND BESCHRAENKTHEIT. OPERATORNORM 81 2.1.2 FOLGEN UND REIHEN VON BESCHRAENKTEN OPERATOREN 87 2.1.3 DIE NEUMANNSCHE REIHE. ANWENDUNGEN 88 2.1.4 LINEARE FUNKTIONALE IN NORMIERTEN RAEUMEN 95 2.1.5 DER RIESZSCHE DARSTELLUNGSSATZ 97 2.1.6 ADJUNGIERTE UND SYMMETRISCHE OPERATOREN 100 2.2 FREDHOLMSCHE THEORIE IN SKALARPRODUKTRAEUMEN 104 2.2.1 VOLLSTETIGE OPERATOREN 105 2.2.2 AUSGEARTETE OPERATOREN 108 2.2.3 DIE FREDHOLMSCHE ALTERNATIVE 111 2.2.4 DER FREDHOLMSCHE ALTERNATIVSATZ IN HILBERTRAEUMEN 112 2.2.5 DER FREDHOLMSCHE ALTERNATIVSATZ IN SKALARPRODUKTRAEUMEN . . 118 X INHALT 2.3 SYMMETRISCHE VOLLSTETIGE OPERATOREN 129 2.3.1 EIGENWERTE UND -ELEMENTE VOLLSTETIGER SYMMETRISCHER OPERATO- REN. FOURIERENTWICKLUNG 131 2.3.2 ZUSAMMENFASSUNG 140 2.3.3 ANWENDUNG AUF SYMMETRISCHE INTEGRALOPERATOREN 140 2.3.4 EIN STURM-LIOUVILLESCHES EIGENWERTPROBLEM 143 2.3.5 DAS SPEKTRUM EINES SYMMETRISCHEN OPERATORS 153 3 DER HILBERTRAUM L 2 (Q) UND ZUGEHOERIGE SOBOLEVRAEUME 3.1 DER HILBERTRAUM L 2 (Q) 161 3.1.1 MOTIVIERUNG 161 3.1.2 DEFINITION VON L 2 (Q) 163 3.1.3 EINBETTUNG VON ~() IN L 2 (Q) 165 3.1.4 RESTRIKTION UND NORMINVARIANTE ERWEITERUNG VON ^-FUNKTIO NALEN 172 3.1.5 PRODUKT VON L 2 -FUNKTIONALEN MIT STETIGEN FUNKTIONEN .... 173 3.1.6 DIFFERENTIATION IN L 2 (Q) 174 3.2 SOBOLEVRAEUME 179 3.2.1 DER SOBOLEVRAUM ,() 179 3.2.2 DER SOBOLEVRAUM ,() 181 3.2.3 ERGAENZUNGEN 183 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 4 EINFUEHRUNG 4.1 WAS IST EINE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNG? 187 4.1.1 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN BELIEBIGER ORDNUNG 187 4.1.2 BEISPIELE 189 4.1.3 HERLEITUNG VON PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 191 4.2 LINEARE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1-TER ORDNUNG 195 4.2.1 ZURUECKFUEHRUNG AUF SYSTEME GEWOEHNLICHER DIFFERENTIALGLEI- CHUNGEN 195 4.2.2 ANWENDUNG AUF DIE KONTINUITAETSGLEICHUNG 198 4.3 LINEARE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2-TER ORDNUNG 200 4.3.1 KLASSIFIKATION 200 4.3.2 SEPARATIONSANSAETZE 203 INHALT XI 5 HELMHOLTZSCHE SCHWINGUNGSGLEICHUNG UND POTENTIALGLEICHUNG 5.1 GRUNDLAGEN 206 5.1.1 HILFSMITTEL AUS DER VEKTORANALYSIS 206 5.1.2 RADIALSYMMETRISCHE LOESUNGEN 208 5.1.3 DIE DARSTELLUNGSFORMEL FUER INNENGEBIETE 210 5.1.4 MITTELWERTFORMEL UND MAXIMUMPRINZIP 216 5.1.5 FLAECHEN- UND VOLUMENPOTENTIALE 219 5.2 GANZRAUMPROBLEME 222 5.2.1 VOLUMENPOTENTIALE UND INHOMOGENE SCHWINGUNGSGLEICHUNG . 222 5.2.2 DIE SOMMERFELDSCHE AUSSTRAHLUNGSBEDINGUNG 230 5.2.3 DIE DARSTELLUNGSFORMEL FUER AUSSENGEBIETE 240 5.2.4 GANZRAUMPROBLEME 242 5.3 RANDWERTPROBLEME 246 5.3.1 PROBLEMSTELLUNGEN UND EINDEUTIGKEITSFRAGEN 247 5.3.2 SPRUNGRELATIONEN 253 5.3.3 LOESUNGSNACHWEISE MIT INTEGRALGLEICHUNGSMETHODEN 255 5.4 EIN EIGENWERTPROBLEM DER POTENTIALTHEORIE 272 5.4.1 DIE GREENSCHE FUNKTION ZUM DIRICHLETSCHEN INNENRAUMPRO- BLEM 272 5.4.2 EIGENWERTE UND EIGENFUNKTIONEN DES LAPLACEOPERATORS . . . 276 5.5 EINFUEHRUNG IN DIE METHODE DER FINITEN ELEMENTE (F. WILLE) 280 5.5.1 DIE FRECHET-ABLEITUNG 280 5.5.2 VARIATIONSPROBLEME 283 5.5.3 ELLIPTISCHE RANDWERTPROBLEME UND AEQUIVALENTE VARIATIONSPRO- BLEME 290 5.5.4 PRINZIP DER FINITE-ELEMENTE-METHODE (FEM) 296 5.5.5 DISKRETES VARIATIONSPROBLEM 298 5.5.6 BEISPIELE 304 5.5.7 AUSBLICK AUF WEITERE MOEGLICHKEITEN DER FINITE-ELEMENTE-ME- THODE 310 6 DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 6.1 RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEME 318 6.1.1 EIN RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEM MIT DIRICHLETSCHER RAND- BEDINGUNG 319 6.1.2 DIE EINDEUTIGKEITSFRAGE 321 6.1.3 LOESUNGSBESTIMMUNG MITTELS EIGENWERTTHEORIE 322 XII INHALT 6.2 EIN ANFANGSWERTPROBLEM 324 6.2.1 AUFGABENSTELLUNG 325 6.2.2 DIE GRUNDLOESUNG DER WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 325 6.2.3 LOESUNGSBESTIMMUNG MITTELS FOURIERTRANSFORMATION 326 7 DIE WELLENGLEICHUNG 7.1 DIE HOMOGENE WELLENGLEICHUNG 330 7.1.1 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 330 7.1.2 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 1 335 7.1.3 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 2 (METHOD OF DESCENT ) 341 7.1.4 DAS HUYGENSSCHE PRINZIP 344 7.1.5 BEMERKUNGEN ZU RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEMEN 346 7.2 DIE INHOMOGENE WELLENGLEICHUNG IM R 3 349 7.2.1 DAS DUHAMELSCHE PRINZIP 349 7.2.2 DIE KIRCHHOFFSCHE FORMEL 352 7.2.3 ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN 353 8 HILBERTRAUMMETHODEN 8.1 EINFUEHRUNG 357 8.1.1 EIN SCHWACHES DIRICHLETPROBLEM FUER DIE INHOMOGENE SCHWIN- GUNGSGLEICHUNG 357 8.1.2 NACHWEIS EINER SCHWACHEN LOESUNG 358 8.1.3 EIN AEQUIVALENTES SCHWACHES PROBLEM 361 8.2 DAS SCHWACHE DIRICHLETPROBLEM FUER LINEARE ELLIPTISCHE DIFFERENTIAGLEI- CHUNGEN 362 8.2.1 DAS KLASSISCHE DIRICHLETPROBLEM 362 8.2.2 DAS SCHWACHE DIRICHLETPROBLEM 363 8.2.3 EIN AEQUIVALENTES SCHWACHES PROBLEM 364 8.2.4 SCHWACHE LOESUNGEN BEI STRIKT POSITIVEN ELLIPTISCHEN DIFFEREN- TIALOPERATOREN 366 8.2.5 SCHWACHE LOESUNGEN BEI GLEICHMAESSIG ELLIPTISCHEN DIFFERENTIAL- OPERATOREN 368 8.2.6 EIGENWERTE UND -ELEMENTE DES SCHWACHEN DIRICHLETPROBLEMS 375 8.3 DAS SCHWACHE NEUMANNPROBLEM FUER LINEARE ELLIPTISCHE DIFFERENTIALGLEI- CHUNGEN 377 8.3. 1 EIN SCHWACHES NEUMANNPROBLEM FUER DIE INHOMOGENE SCHWIN- GUNGSGLEICHUNG 378 8.3.2 NACHWEIS EINER SCHWACHEN LOESUNG 384 8.3.3 AUSBLICK AUF DEN ALLGEMEINEN FALL 385 INHALT XIII 8.4 ZUR REGULARITAETSTHEORIE BEIM DIRICHIETPROBLEM 386 8.4.1 INNENREGULARITAET 387 8.4.2 RANDREGULARITAET 388 ANHANG , 395 LOESUNGEN ZU DEN UEBUNGEN 1 ) 400 SYMBOLE 427 LITERATURVERZEICHNIS 431 SACHVERZEICHNIS 439 ) ZU DEN MIT * VERSEHENEN UEBUNGEN WERDEN LOESUNGEN ANGEGEBEN ODER LOESUNGSWEGE SKIZZIERT. BURG/HAF/WILLE HOEHERE MATHEMATIK FUER INGENIEURE BAND V FUNKTIONALANALYSIS UND PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VON PROF. DR. RER. NAT. HERBERT HAF UNIVERSITAET KASSEL, GESAMTHOCHSCHULE 2., DURCHGESEHENE AUFLAGE MIT 49 FIGUREN, ZAHLREICHEN BEISPIELEN UND 91 UEBUNGEN, MEIST MIT LOESUNGEN B. G. TEUBNER STUTTGART 1993 INHALT FUNKTIONALANALYSIS 1 GRUNDLEGENDE RAEUME 1.1 METRISCHE RAEUME 2 1.1.1 DEFINITION UND BEISPIELE 2 1.1.2 TOPOLOGISCHE HILFSMITTEL 7 1.1.3 KONVERGENZ IN METRISCHEN RAEUMEN. VOLLSTAENDIGKEIT 8 1.1.4 BESTAPPROXIMATION IN METRISCHEN RAEUMEN 18 1.1.5 DER BANACHSCHE FIXPUNKTSATZ. ANWENDUNGEN 19 1.2 NORMIERTE RAEUME. BANACHRAEUME 30 1.2.1 LINEARE RAEUME 30 1.2.2 NORMIERTE RAEUME. BANACHRAEUME 34 1.3 SKALARPRODUKTRAEUME. 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ANWENDUNGEN 88 2.1.4 LINEARE FUNKTIONALE IN NORMIERTEN RAEUMEN 95 2.1.5 DER RIESZSCHE DARSTELLUNGSSATZ 97 2.1.6 ADJUNGIERTE UND SYMMETRISCHE OPERATOREN 100 2.2 FREDHOLMSCHE THEORIE IN SKALARPRODUKTRAEUMEN 104 2.2.1 VOLLSTETIGE OPERATOREN 105 2.2.2 AUSGEARTETE OPERATOREN 108 2.2.3 DIE FREDHOLMSCHE ALTERNATIVE 111 2.2.4 DER FREDHOLMSCHE ALTERNATIVSATZ IN HILBERTRAEUMEN 112 2.2.5 DER FREDHOLMSCHE ALTERNATIVSATZ IN SKALARPRODUKTRAEUMEN . . 118 X INHALT 2.3 SYMMETRISCHE VOLLSTETIGE OPERATOREN 129 2.3.1 EIGENWERTE UND -ELEMENTE VOLLSTETIGER SYMMETRISCHER OPERATO- REN. FOURIERENTWICKLUNG 131 2.3.2 ZUSAMMENFASSUNG 140 2.3.3 ANWENDUNG AUF SYMMETRISCHE INTEGRALOPERATOREN 140 2.3.4 EIN STURM-LIOUVILLESCHES EIGENWERTPROBLEM 143 2.3.5 DAS SPEKTRUM EINES SYMMETRISCHEN OPERATORS 153 3 DER HILBERTRAUM L 2 (Q) UND ZUGEHOERIGE SOBOLEVRAEUME 3.1 DER HILBERTRAUM L 2 (Q) 161 3.1.1 MOTIVIERUNG 161 3.1.2 DEFINITION VON L 2 (Q) 163 3.1.3 EINBETTUNG VON ~() IN L 2 (Q) 165 3.1.4 RESTRIKTION UND NORMINVARIANTE ERWEITERUNG VON ^-FUNKTIO NALEN 172 3.1.5 PRODUKT VON L 2 -FUNKTIONALEN MIT STETIGEN FUNKTIONEN .... 173 3.1.6 DIFFERENTIATION IN L 2 (Q) 174 3.2 SOBOLEVRAEUME 179 3.2.1 DER SOBOLEVRAUM ,() 179 3.2.2 DER SOBOLEVRAUM ,() 181 3.2.3 ERGAENZUNGEN 183 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 4 EINFUEHRUNG 4.1 WAS IST EINE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNG? 187 4.1.1 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN BELIEBIGER ORDNUNG 187 4.1.2 BEISPIELE 189 4.1.3 HERLEITUNG VON PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 191 4.2 LINEARE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1-TER ORDNUNG 195 4.2.1 ZURUECKFUEHRUNG AUF SYSTEME GEWOEHNLICHER DIFFERENTIALGLEI- CHUNGEN 195 4.2.2 ANWENDUNG AUF DIE KONTINUITAETSGLEICHUNG 198 4.3 LINEARE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2-TER ORDNUNG 200 4.3.1 KLASSIFIKATION 200 4.3.2 SEPARATIONSANSAETZE 203 INHALT XI 5 HELMHOLTZSCHE SCHWINGUNGSGLEICHUNG UND POTENTIALGLEICHUNG 5.1 GRUNDLAGEN 206 5.1.1 HILFSMITTEL AUS DER VEKTORANALYSIS 206 5.1.2 RADIALSYMMETRISCHE LOESUNGEN 208 5.1.3 DIE DARSTELLUNGSFORMEL FUER INNENGEBIETE 210 5.1.4 MITTELWERTFORMEL UND MAXIMUMPRINZIP 216 5.1.5 FLAECHEN- UND VOLUMENPOTENTIALE 219 5.2 GANZRAUMPROBLEME 222 5.2.1 VOLUMENPOTENTIALE UND INHOMOGENE SCHWINGUNGSGLEICHUNG . 222 5.2.2 DIE SOMMERFELDSCHE AUSSTRAHLUNGSBEDINGUNG 230 5.2.3 DIE DARSTELLUNGSFORMEL FUER AUSSENGEBIETE 240 5.2.4 GANZRAUMPROBLEME 242 5.3 RANDWERTPROBLEME 246 5.3.1 PROBLEMSTELLUNGEN UND EINDEUTIGKEITSFRAGEN 247 5.3.2 SPRUNGRELATIONEN 253 5.3.3 LOESUNGSNACHWEISE MIT INTEGRALGLEICHUNGSMETHODEN 255 5.4 EIN EIGENWERTPROBLEM DER POTENTIALTHEORIE 272 5.4.1 DIE GREENSCHE FUNKTION ZUM DIRICHLETSCHEN INNENRAUMPRO- BLEM 272 5.4.2 EIGENWERTE UND EIGENFUNKTIONEN DES LAPLACEOPERATORS . . . 276 5.5 EINFUEHRUNG IN DIE METHODE DER FINITEN ELEMENTE (F. WILLE) 280 5.5.1 DIE FRECHET-ABLEITUNG 280 5.5.2 VARIATIONSPROBLEME 283 5.5.3 ELLIPTISCHE RANDWERTPROBLEME UND AEQUIVALENTE VARIATIONSPRO- BLEME 290 5.5.4 PRINZIP DER FINITE-ELEMENTE-METHODE (FEM) 296 5.5.5 DISKRETES VARIATIONSPROBLEM 298 5.5.6 BEISPIELE 304 5.5.7 AUSBLICK AUF WEITERE MOEGLICHKEITEN DER FINITE-ELEMENTE-ME- THODE 310 6 DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 6.1 RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEME 318 6.1.1 EIN RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEM MIT DIRICHLETSCHER RAND- BEDINGUNG 319 6.1.2 DIE EINDEUTIGKEITSFRAGE 321 6.1.3 LOESUNGSBESTIMMUNG MITTELS EIGENWERTTHEORIE 322 XII INHALT 6.2 EIN ANFANGSWERTPROBLEM 324 6.2.1 AUFGABENSTELLUNG 325 6.2.2 DIE GRUNDLOESUNG DER WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 325 6.2.3 LOESUNGSBESTIMMUNG MITTELS FOURIERTRANSFORMATION 326 7 DIE WELLENGLEICHUNG 7.1 DIE HOMOGENE WELLENGLEICHUNG 330 7.1.1 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 330 7.1.2 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 1 335 7.1.3 ANFANGSWERTPROBLEME IM R 2 (METHOD OF DESCENT ) 341 7.1.4 DAS HUYGENSSCHE PRINZIP 344 7.1.5 BEMERKUNGEN ZU RAND- UND ANFANGSWERTPROBLEMEN 346 7.2 DIE INHOMOGENE WELLENGLEICHUNG IM R 3 349 7.2.1 DAS DUHAMELSCHE PRINZIP 349 7.2.2 DIE KIRCHHOFFSCHE FORMEL 352 7.2.3 ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN 353 8 HILBERTRAUMMETHODEN 8.1 EINFUEHRUNG 357 8.1.1 EIN SCHWACHES DIRICHLETPROBLEM FUER DIE INHOMOGENE SCHWIN- GUNGSGLEICHUNG 357 8.1.2 NACHWEIS EINER SCHWACHEN LOESUNG 358 8.1.3 EIN AEQUIVALENTES SCHWACHES PROBLEM 361 8.2 DAS SCHWACHE DIRICHLETPROBLEM FUER LINEARE ELLIPTISCHE DIFFERENTIAGLEI- CHUNGEN 362 8.2.1 DAS KLASSISCHE DIRICHLETPROBLEM 362 8.2.2 DAS SCHWACHE DIRICHLETPROBLEM 363 8.2.3 EIN AEQUIVALENTES SCHWACHES PROBLEM 364 8.2.4 SCHWACHE LOESUNGEN BEI STRIKT POSITIVEN ELLIPTISCHEN DIFFEREN- TIALOPERATOREN 366 8.2.5 SCHWACHE LOESUNGEN BEI GLEICHMAESSIG ELLIPTISCHEN DIFFERENTIAL- OPERATOREN 368 8.2.6 EIGENWERTE UND -ELEMENTE DES SCHWACHEN DIRICHLETPROBLEMS 375 8.3 DAS SCHWACHE NEUMANNPROBLEM FUER LINEARE ELLIPTISCHE DIFFERENTIALGLEI- CHUNGEN 377 8.3. 1 EIN SCHWACHES NEUMANNPROBLEM FUER DIE INHOMOGENE SCHWIN- GUNGSGLEICHUNG 378 8.3.2 NACHWEIS EINER SCHWACHEN LOESUNG 384 8.3.3 AUSBLICK AUF DEN ALLGEMEINEN FALL 385 INHALT XIII 8.4 ZUR REGULARITAETSTHEORIE BEIM DIRICHIETPROBLEM 386 8.4.1 INNENREGULARITAET 387 8.4.2 RANDREGULARITAET 388 ANHANG , 395 LOESUNGEN ZU DEN UEBUNGEN 1 ) 400 SYMBOLE 427 LITERATURVERZEICHNIS 431 SACHVERZEICHNIS 439 ) ZU DEN MIT * VERSEHENEN UEBUNGEN WERDEN LOESUNGEN ANGEGEBEN ODER LOESUNGSWEGE SKIZZIERT.
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