Mathematik für Elektrotechniker: 1 Grundlagen-Lehrbuch
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|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Heidelberg
Hüthig
1978
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| Edition: | 2., durchges. und erw. Aufl. |
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Vorwort V
Einleitung XV
1 Der Zahlenbegriff und das Rechnen mit reellen Zahlen 1
1.1 Bruchrechnung 2
1.1.1 Dezimalbrüche 3
1.2 Runden von Zahlen 4
1.3 Prozentrechnung 4
1.3.1 Grundbegriffe der Prozentrechnung 4
1.3.1.1 Grundwert 4
1.3.1.2 Prozentsatz 5
1.3.1.3 Prozentwert 5
1.3.1.4 Berechnen des Grundwertes 5
1.3.1.5 Berechnen des Prozentsatzes 5
1.3.1.6 Berechnen des Prozentwertes 5
1.3.1.7 Promillerechnung 6
1.4 Kalkulationsfaktor 6
1.5 Zinsrechnung 6
1.6 Diskont 7
1.7 Addition 8
1.7.1 Kommutatives Gesetz 8
1.7.2 Assoziatives Gesetz 8
1.8 Subtraktion 8
1.8.1 Null und die negativen Zahlen 9
1.9 Klammerregeln 9
1.10 Multiplikation 10
1.10.1 Das Vorzeichen beim Multiplizieren (Zeichenregel) 11
1.10.2 Die wichtigsten Multiplikationsregeln 11
1.11 Division 12
1.11.1 Division algebraischer Ausdrücke 12
1.11.2 Die Null bei der Division 13
1.12 Verhältnisse und Proportionen 13
1.13 Potenzrechnung 15
1.13.1 Potenzgesetze 16
1.13.1.1 Potenzen mit ganzen positiven Exponenten 16
1.13.1.2 Potenzen mit negativen Exponenten 16
1.13.2 Wortlaut der Sätze 16
1.14 Wurzelrechnung 16
1.14.1 Rechengesetze 17
1.14.1.1 Multiplikation 17
VIII Inhaltsverzeichnis
1.14.1.2 Division 17
1.14.1.3 Potenzieren 17
1.14.1.4 Mehrfache Wurzeln 17
1.14.2 Wortlaut der Sätze der Wurzelrechnung 18
1.14.3 Irrationalität von ]/2, |/§ 18
1.14.4 Beseitigen von Wurzeln aus dem Nenner eines Bruches 19
1.14.5 Ziehen der Quadratwurzel 19
1.15 Logarithmieren 21
1.15.1 Rechenregeln für Logarithmen 22
1.15.2 Zusammenhang verschiedener Logarithmensysteme 23
1.15.3 Die dekadischen Logarithmen 24
1.15.4 Die binären Logarithmen 25
1.16 Interpolation 26
1.16.1 Differenzenrechnung 26
1.16.1.1 Dividierte Differenzen (Steigungen) 26
1.16.2 Das Interpolationspolynom 29
1.16.2.1 Lineare Interpolation 29
1.16.2.2 Quaaratische Interpolation 30
1.16.2.3 Kubische Interpolation 33
1.16.3 Interpolationsformeln 34
1.16.3.1 Interpolationsformel von Newton 34
1.16.3.2 Interpolationsformel nach Bessel 35
1.16.3.3 Interpolationsformel nach Stirling 35
1.16.4 Beispiel 35
1.17 Näherungen 37
2 Weitere Gebiete der Arithmetik 40
2.1 Grundlagen der Mengenlehre 40
2.1.1 Grundbegriffe 40
2.1.2 Beziehungen zwischen Mengen 40
2.1.3 Rechenregeln für Mengen 41
2.1.3.1 Vereinigung von Mengen 41
2.1.3.2 Durchschnitt 41
2.1.3.3 Differenz 42
2.1.3.4 Mengenprodukt 43
2.1.4 Abbildung von Mengen 44
2.2 Kombinatorik 46
2.2.1 Permutationen 46
2.2.1.1 Permutationen verschiedener Elemente 46
2.2.1.2 Permutationen von zum Teil gleichen Elementen 48
2.2.2 Kombinationen 49
2.2.2.1 Kombinationen ohne Wiederholung 49
2.2.2.2 Kombinationen mit Wiederholung 51
2.2.3 Variationen 52
2.2.3.1 Variationen ohne Wiederholung 53
2.2.3.2 Variationen mit Wiederholung 53
2.3 Bernoullische und Eulersche Zahlen 54
2.3.1 Bernoullische Zahlen und Bernonllische Polynome 54
2.3.2 Eulersche Zahlen und Polynome 56
Inhaltsverzeichnis IX
3 Graphisches Rechnen (Nomographie) 57
3.1 Funktionsleitern 57
3.2 Netztafeln 58
3.3 Graphisches Rechnen und Auswerten auf Funktionspapieren 59
3.4 Eine Fluchtentafel 61
3.5 Eine Fluchtentafel mit drei parallelen Leitern 62
4 Das Rechnen mit komplexen Zahlen 65
4.1 Imaginäre Zahlen und ihre Rechengesetze 65
4.2 Komplexe Zahlen und ihre Rechengesetze 67
4.2.1 Die vier Grundrechnungsarten der komplexen Zahlen in algebra¬
ischer Form 67
4.2.1.1 Addition von komplexen Zahlen 67
4.2.1.2 Subtraktion von komplexen Zahlen 68
4.2.1.3 Multiplikation von komplexen Zahlen 68
4.2.1.4 Division von komplexen Zahlen 68
4.2.2 Die vier Grundrechnungsarten der komplexen Zahlen in geometri¬
scher Form 69
4.2.2.1 Geometrische Addition von komplexen Zahlen 70
4.2.2.2 Geometrische Subtraktion von komplexen Zahlen 70
4.2.2.3 Geometrische Multiplikation von komplexen Zahlen 71
4.2.2.4 Geometrische Division von komplexen Zahlen 72
4.2.3 Das Potenzieren von komplexen Zahlen 73
4.2.4 Das Radizieren von komplexen Zahlen 74
4.2.5 Die Exponentialform einer komplexen Zahl 77
4.2.6 Inversion einer komplexen Zahl 78
4.2.7 Der Logarithmus einer komplexen Zahl 78
4.3 Die komplexe Zahl als Zeiger 79
4.3.1 Definition 79
4.3.1.1 Streckung 79
4.3.1.2 Drehung 80
4.3.1.3 Drehstreckung 81
4.4 Die komplexe Darstellung sinusförmiger Schwingungen 82
4.5 Die komplexe Zahlenrechnung in der Elektrotechnik 83
4.5.1 Reihenschaltung aus Widerstand und Induktivität 84
4.5.2 Reihenschaltung aus Widerstand und Kapazität 84
4.5.3 Parallelschaltung aus Widerstand und Induktivität 84
4.5.4 Parallelschaltung aus Widerstand und Kapazität 85
5 Ortskurvenlehre 87
5.1 Begriff der Ortskurve 87
5.1.1 Gerade 87
5.1.2 Inversion der Geraden 87
5.1.3 Der Kreis in allgemeiner Lage 88
5.1.4 Die Inversion eines Kreises 89
5.2 Maßstäbe der Ortskurve und Zeichnungsausführung 89
5.3 Bezifferung der Ortskurve 90
5.3.1 Lineare Teilung 90
5.3.2 Reziproke Teilung 90
5.3.3 Normierung der Ortskurve 90
X Inhaltsverzeichnis
5.4 Beispiele aus der Wechselstromtechnik 91
5.4.1 Serienschaltung mit Veränderung der Frequenz 91
5.4.2 Parallelschaltung mit Veränderung der Frequenz 91
6 Funktionenlehre 93
6.1 Allgemeines und Einteilung der wichtigsten Funktionen 93
6.1.1 Formen der Funktionen 93
6.1.2 Einteilung der wichtigsten Funktionen 94
6.2 Ganze und gebrochene rationale Funktionen 94
6.2.1 Ganze rationale Funktionen 94
6.2.1.1 Die lineare Funktion 95
6.2.1.2 Die quadratische Funktion 95
6.2.1.3 Die Funktion dritten Grades 95
6.2.2 Gebrochene rationale Funktionen 96
6.2.2.1 Partialbruchzerlegung 96
6.3 Irrationale Funktionen 99
6.4 Exponentialfunktionen und Hyperbelfunktionen 100
6.4.1 Grundgesetze der Hyperbelfunktionen 102
6.4.2 Spezielle Werte 102
6.4.3 Additionstheoreme der Hyperbelfunktionen 102
6.4.4 Funktionen mit doppeltem und halbem Argument 102
6.4.5 Summe und Differenz von zwei Hyperbelfunktionen 103
6.4.6 Hyperbelfunktionen mit komplexem Argument 103
6.5 Areafunktionen 103
6.6 Logarithmische Funktionen 104
6.7 Trigonometrische Funktionen 105
6.7.1 Goniometrische Formeln 108
6.8 Zyklometrische Funktionen 109
6.8.1 Beziehungen zwischen verschiedenen zyklometrischen Funktionen . 110
6.8.2 Zusammenhang zwischen zyklometrischen Funktionen, Area-Funk¬
tionen und den Logarithmen 111
7 Lineare Vektoralgebra 112
7.1 Koordinaten 112
7.1.1 Koordinatensysteme 112
7.1.2 Kartesische Koordinaten 112
7.1.3 Polarkoordinaten 112
7.1.3.1 Kreis 113
7.1.3.2 Ellipse 113
7.1.4 Koordinatentransformationen 114
7.1.4.1 Parallelverschiebung der Koordinatenachsen 114
7.1.4.2 Drehung der Koordinatenachsen 115
7.1.4.3 Parallelverschiebung und Drehung des Achsenkreuzes 116
7.2 Vektoren 116
7.2.1 Definitionen 116
7.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren 117
7.2.3 Zerlegen eines Vektors in Komponenten 120
7.2.3.1 Zerlegen in der Ebene 120
7.2.3.2 Zerlegen im Raum 120
7.2.3.3 Koordinatendarstellung von Vektoren 120
Inhaltsverzeichnis XI
7.2.4 Das skalare Produkt von zwei Vektoren 121
7.2.4.1 Rechenregeln für das skalare Produkt 121
7.2.4.2 Das skalare Produkt in rechtwinkligen Koordinaten 122
7.2.5 Das vektorielle Produkt von zwei Vektoren 123
7.2.5.1 Definition für das vektorielle Produkt 123
7.2.5.2 Sonderfälle des vektoriellen Produktes 123
7.2.5.3 Gesetze der vektoriellen Multiplikation 123
7.2.5.4 Das vektorielle Produkt in rechtwinkligen Koordinaten ... 124
8 Algebraische Gleichungen 126
8.1 Definitionen 126
8.2 Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten 127
8.2.1 Fortschaffen der Nenner und Auflösen der Klammern 129
8.2.2 Fortschaffen der Wurzelausdrücke 131
8.3 Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten 133
8.3.1 Allgemeines 133
8.3.2 Substitutionsmethode 133
8.3.2.1 Allgemeines Beispiel 133
8.3.2.2 Zahlenbeispiel 134
8.3.3 Kombinations- oder Gleichsetzungsmethode 134
8.3.3.1 Allgemeines Beispiel 134
8.3.3.2 Zahlenbeispiel 135
8.3.4 Additions- und Subtraktionsmethode 135
8.3.4.1 Allgemeines Beispiel 135
8.3.4.2 Zahlenbeispiel 136
8.4 Gleichungen ersten Grades mit drei und mehr Unbekannten 137
8.4.1 Beispiel eines Gleichungssystems mit vier Unbekannten 137
8.5 Determinanten 138
8.5.1 Definition 138
8.5.2 Determinante zweiten Grades 139
8.5.3 Determinante dritten Grades 140
8.6 Cramersche Regel für die Lösung von Gleichungssystemen 141
8.6.1 Anwendung auf elektrotechnische Probleme 143
8.6.1.1 Spannungsteiler 143
8.6.1.2 Wheatstonesche Brücke 143
8.7 Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten 144
8.8 Quadratische Gleichungen mit zwei Unbekannten 146
8.9 Gleichungen dritten Grades 148
8.9.1 Exakte Lösung der kubischen Gleichung 148
8.9.2 Hornersches Schema 149
8.9.3 Newtonsche Näherung 151
8.9.4 Reduktion der kubischen Gleichung 154
8.9.5 Rechenstabform der kubischen Gleichung 156
8.9.5.1 Beispiel 157
8.9.6 Das Beiersche Verfahren 160
8.10 Die allgemeine Gleichung w-ten Grades 161
9 Arithmetische und geometrische Reihen 164
9.1 Arithmetische Reihen erster Ordnung 164
: 9.1.1 Definition 164
9.1.2 Beweis der Summenformel 164
9.2 Der binomische Lehrsatz 165
XII Inhaltsverzeichnis
9.3 Arithmetische Reihen höherer Ordnung 168
9.4 Geometrische Reihen 170
9.4.1 Definition 170
9.4.2 Beweis der Summenformel 171
10 Differentialrechnung 172
10.1 Der Differentialquotient 172
10.1.1 Der Begriff des Grenzwertes oder Limes 172
10.1.2 Stetigkeit von Funktionen 172
10.1.3 Definition des Differentialquotienten 173
10.1.4 Partielle Differentiation 174
10.1.5 Das Differential 175
10.2 Allgemeine Sätze über Differentiation 176
10.2.1 Konstanter Faktor 176
10.2.2 Konstanter Summand 176
10.2.3 Differentiation einer Summe 176
10.2.4 Differentiation eines Produktes 176
10.2.5 Differentiation eines Quotienten 176
10.2.6 Kettenregel 176
10.3 Differentiation der elementaren Funktionen 177
10.3.1 Differentiation einer Konstanten . 177
10.3.2 Differentiation einer Potenz 177
10.3.3 Differentiation eines Logarithmus 177
10.3.4 Differentiation der trigonometrischen Funktionen 177
10.3.5 Differentiation der zyklometrischen Funktionen 177
10.3.6 Differentiation der hyperbolischen Funktionen 178
10.4 Maxima und Minima expliziter Funktionen einer Variablen 178
10.4.1 Extremwerte 178
10.4.2 Übungsbeispiel 179
10.5 Kurvendiskussion 180
10.5.1 Symmetrieeigenschaften 180
10.5.2 Berechnen von/(0) und/(±oo) 180
10.5.3 Berechnen der Nullstellen 180
10.5.4 Berechnen der Polstellen 180
10.5.5 Asymptoten 180
10.5.6 Bestimmen der Extremalsteilen 181
10.5.7 Bestimmen der Wendepunkte 181
10.5.8 Bestimmen der Tangente in charakteristischen Punkten 181
10.5.9 Betrachten der Krümmungsverhältnisse 181
10.5.10 Beispiel 182
10.6 Fehlerrechnung 183
10.7 Graphische Differentiation 184
11 Analytische Geometrie der Ebene 185
11.1 Punkt und Strecke 185
11.1.1 Entfernung und Steigung einer Strecke 185
11.1.2 Teilung von Strecken 186
11.1.3 Inhalt eines Dreiecks 187
11.2 Gerade 188
11.2.1 Hauptformen der Geradengleichung 188
11.2.2 Zwei Gerade 189
11.2.3 Hessesche Normalform der Geradengleichung 190
Inhaltsverzeichnis XIII
11.3 Der Kreis 190
11.4 Die Parabel 192
11.5 Die Ellipse 193
11.6 Die Hyperbel 194
11.6.1 Gleichung der Hyperbel 194
11.6.2 Konjugierte Durchmesser der Hyperbel 196
11.6.3 Asymptoten der Hyperbel 196
11.7 Die allgemeine Gleichung zweiten Grades 196
11.7.1 Beispiel 197
11.7.2 Ermitteln eines Kegelschnittes 198
12 Potenzreihen 200
12.1 Konvergenz und Divergenz der unendlichen Reihen 200
12.1.1 Konvergenzkriterien 201
12.1.1.1 Allgemeine Konvergenzbedingung 201
12.1.1.2 Konvergenzkriterium von Leibniz 201
12.1.1.3 Konvergenzkriterium von d Alembert 201
12.1.1.4 Konvergenzkriterium von Raabe 202
12.1.1.5 Konvergenzkriterium von Cauchy 202
12.2 Taylorsche Reihe und Mac Laurinsche Reihe 203
12.3 Fehlerabschätzung bei Reihenentwicklungen 204
12.4 Spezielle Potenzreihen 206
12.4.1 Binomische Reihe 206
12.4.2 Exponentialreihe 206
12.4.3 Logarithmische Reihe 207
12.4.4 Reihen der trigonometrischen Funktionen 208
12.4.4.1 Sinusreihe 208
12.4.4.2 Kosinusreihe 208
12.4.4.3 Tangensreihe 209
12.4.5 Arkus-Sinus-Reihe 209
13 Integralrechnung 211
13.1 Die Integration als Umkehrung der Differentiation 211
13.2 Integrale einfacher Funktionen und Integrationsregeln 213
13.2.1 Integration algebraischer Ausdrücke 213
13.2.2 Integration transzendenter Ausdrücke 213
13.2.3 Integration einer Konstanten 214
13.2.4 Integration einer Summe 214
13.2.5 Teilweise Integration 214
13.2.5.1 Beispiel 214
13.2.6 Integration durch Substitution 215
13.2.6.1 Beispiel 215
13.2.7 Integration durch Partialbruchzerlegung bei gebrochenen rationa¬
len Funktionen 215
13.3 Die Flächenberechnung ebener Figuren 218
13.3.1 Flächeninhalt und bestimmtes Integral 218
13.3.2 Quadratur einer Kurve 219
13.3.3 Beispiel 220
13.3.4 Flächen zwischen zwei Kurven 221
13.3.5 Beispiel 221
13.3.6 Parameterdarstellung und Polarkoordinaten 222
XIV Inhaltsverzeichnis
13.4 Die Längenberechnung von Kurvenstücken 223
13.4.1 Beispiel 223
13.4.2 Die Bogenlänge eines Kurvenstücks in Parameterdarstellung bzw.
in Polarkoordinaten 224
13.5 Die Berechnung des Rauminhaltes eines Drehkörpers 225
13.5.1 Beispiel 225
13.6 Die Berechnung der Mantelfläche eines Drehkörpers 226
13.6.1 Beispiel 226
13.7 Das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe 227
13.7.1 Sehnen- und Tangentenformel 227
13.7.2 Keplersche Faßregel 230
13.7.3 Simpsonsche Regel 232
13.8 Graphische Integration 233
13.8.1 Beispiel 233
14 Fouriersche Reihen 235
14.1 Definition der Fourierschen Reihe 235
14.2 Bestimmung der Fourier-Koeffizienten 236
14.3 Zerlegen einer Rechteckschwingung in ihre Teilschwingungen 238
15 Verzeichnis der verwendeten Symbole 240
16 Literaturverzeichnis 242
17 Namen- und Sachwörterverzeichnis 243
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