Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der Flächen und der Linien doppelter Krümmung:
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INHAL T.
Einleitung.
§
Erklärung der Curven doppelter Krümmung und der Curven im
Raume ......................................................... 1. 1
Analytischer Ausdruck der Curve im Raume, 1) als Durchschnitt
zweier cylindrischer Oberflächen, 2) durch ihre Projectionen auf
zwei Coordiuatenebenen ....................................■ 2. 2
3) Die drei Coördinaten als Functionen einer vierten Variabeln
(Beispiele).....................................................3. 3
Analytischer Ausdruck der Fläche (Beispiele)................... 4. 5
Erster Abschnitt. Curven im Raume.
I. Tangente und Normalebene.
Tangente au die Curve im Raume erklärt und Aufstellung der
Gleichung.....................................................5. 6
Neigung der Tangente zu den Coordiuatenaxen; Differential des
Bogens........................................................6. 7
Normalobene der Curve im Raume .................................7. 9
II. Schmiegungsebeno.
Schmiegungsebene erklärt und Aufstellung der Gleichung ... 8. 9
Aufgabe: Die Constanten in der Gleichung einer Fläche so zu
bestimmen, dass die Fläche durch eben so viele gegebene
Punkte geht................................................. 9. 10
Ableitung der Schmiegungsebene aus dieser Aufgabe..............10. 11
III. Osculationskreis, erste Krümmung.
Osculationskreis erklärt; Gleichungen für die Coördinaten seines
Mittelpunktes und seinen Radius, wenn eine beliebige unab-
hängige Veränderliche angeuommen wird-.....................11. 12
Dieselben Formeln, wenn der Bogen als unabhängige Veränder-
liche angenommen wird; die Winkel des Krümmungsradius
mit den Axen ................................................12. 14
Excursus (Zerlegung der Kraft nach Tangente und Normale der
Bahncurve) ..................................................13. 15
Erste geometrische Ableitung des Werthes des Krümmungsradius
(Contingenzwinkel; Winkel zweier aufeinanderfolgender Linien
eines Systems)...............................................14. 16
Zweite geometrische Ableitung für die Grösse des Krümmungs-
radius und der Coördinaten des Kriimmungsmittelpunktes . . 15. 17
— vr —
■) Seite
Daraus Richtung des Krümmungsradius ...........................16. 18 1
Dritte geometrische Ableitung..................................17. 18
Der Krümmungsmittelpunkt liegt in der Normalebene der Curve; 1
Erklärung der Krümmnngsaxe; ihre Gleichungen ................18. 19
Bei ebenen Curven ist die Tangente an die Curve der Krüm-
mungsmittelpunkte (Evolute) Normale an die gegebene Curve; *
bei Curven doppelter Krümmung nicht..........................19. 20
Andeutung des analytischen Beweises hierfür ....... 20. 21
IV. Zweite Krümmung.
Erklärung der zweiten Krümmung; ihr Werth .....................21. 22
Bestimmung der Curven, deren erste oder zweite Krümmung
Null ist....................................................22. 24
V. Schmiegungskugel.
Erklärung der Schmiegungskugel; Bestimmung des Radius und
der Coördinaten ihres Mittelpunktes..........................23. 24
Zweiter Abschnitt. Flächen und Curven
auf den Flächen.
I. Analytischer Ausdruck der Fläche; drei verschiedene Arten, Beispiel 24. 26
Geometrische Bedeutung der dritten Art, Beispiel...............25. 27
Analoges bei den ebenen Coördinaten ...........................26. 28
Curve auf einer Fläche, deren Gleichung in der dritten Art ge-
geben ist................................................. 27. 29
A. Die Gleichung der Fläche sei gegeben in der ersten oder
zweiten Art.
II. Untersuchung der Flächen mittelst schneidender Ebenen.
Formeln für die Verlegung rechtwinkliger Coördinaten im Raum 28. 30
Allgemeinere Formeln zu diesem Zweck.....................29. 31
Ueber die Determiuaute A bei dieser Transformation .... 30. 33
Beispiel: Kreisschnitte der Flächen zweiten Grades.......31. 35
Zwei Zusätze hierzu......................................32. 38
III. Tangentialebene und Normale.
Entstehung, Gleichung und Definition der Tangentialebene . . . 33. 40
Anmerkungen..............................................34. 42
Folgerungen und andere Form der Gleichung der Tangentialebene;
Gleichung der Normale..................................36. 43
Andere Gestalt der Gleichung der Tangentialebene bei al-
gebraischen Flächen ................ 36. 44
In welchem Falle schneidet die Tangentialebene eine Fläche
zweiten Grades? .............................................37. 47
Lemma, behufs der:.......................................38. 49
Untersuchung: Wann schneidet die Tangentialebene ihre Fläche? 39. 50
Dieselbe Untersuchung für die Form der Gleichung der Fläche
F (cc, y, z) = 0. . ........................................40. 53
IV. Osculation der Flächen.
Einleitender Satz........................................41. 54
Osculation der Flächen ersten und zweiten Grades ..............42. 57
Lehrsatz über die Schnitteurven zweier einandor osculironden
Flächen..................................................... 43. 58
Einleitende Bemerkungen über die Krümmungen in den verschie-
denen Schnitteurven einer Fläche; Normalschnitt.........44. 59
VII
§ Scíto
Der Meusniersche Satz....................................... .45. 60
Der Eulersche Satz.............................................46. 62
Ableitung der Krümmungsradien aus der unmittelbar gegebenen
Gleichung der Fläche.........................................47. 65
Ausdruck für den grössten und kleinsten Krümmungshalbmesser . 48. 67
Bemerkungen zu der resultirenden Gleichung.....................49, 70
Andre Formen dieser Gleichung und Anwendung auf die Flächen
zweiten Grades mit einem Mittelpunkte........................50. 71
Anwendung auf die Revolutionsfläehen . . . .՝...............61. 74
Aufsuchung der Nabelpunkte einer Fläche........................52. 77
B. Die Gleichung der Flächo sei in der dritten Art gegeben.
V. Einleitendes.
Eecapitulation der §§ 24—27 ............................. 53. 78
Tangente an die Curven V und V; Winkel dieser Curven; er ist
= R, wenn V = 0..............................................54. 80
Oberflächenelement........................................... 55. 81
Bogenelemcnt einer Curve C auf der Fläche, Winkel der Curve
mit den Curven U und V; Winkel ihrer Tangente mit den
Axen....................................................... 56. 82
Beispiel: Loxodromo.......................................... 57. 83
VI. Krümmung der Flächen.
Krümmungsradius irgend einer Curve auf der Fläche..............58. 84
Normale der Fläche; Krümmungsradius des Normalschnittcs,
Nabelpunkte .................................................59. 85
Grösster und kleinster Krümmungshalbmesser ....................60. 87
Ihr Product ausgedrückt durch E, F, G und ihre Differential-
quotienten nach u und v..................................... 61. 88
Satz von Gauss über Biegung von Flächen........................62. 90
Krümmung der Flächen...........................................63. 92
Krümmungscurven erklärt; Gleichung ............................64. 95
Beispiel: Schraubenflüche, Paraboloid..........................65. 97
Gleichung der Krümmungscurven für die ersten Arten der Dar-
stellung der Flächen .............................., . . . 66. 99
Ebene Krümmungscurven..........................................67. 100
VII. Theorie der geradlinigen Flächen.
Erklärung dieser Flächen; ihre Gleichung.......................68. 102
Gleichung der Tangentialebene: die Normalen entlang einer Ge-
neratrix .................................................... 69. 105
Abwickelbare Flächen . 70. 107
Lemma: über die Generatrices der Döveloppables.................71. 110
Partielle Differentialgleichung der abwickelbaren Flächen ... 72. 112
Zweite Eigenschaft der Krümmungscurven (die erste in § 64) . . 73. 114
Dritte Eigenschaft der Krümmungscurven.........................74. 115
Lehrsatz über ebene Krümmungscurven............................75. 117
Krümmungscurven der abwickelbaren Flächen .....................76. 118
VIII. Krümmungscurven der Flächen zweiten Grades.
Der Dupinsche Satz, über Krümmungscurven confoealer Flächen
Untersuchung für das Ellipsoid..........................
Darstellung des Ellipsoids durch zwei neue Grössen k։ und k։
77. 119
. 78. 121
. 79. 122
VIII
Seite
Zurückführung dieser Darstellung auf die elliptischen Coor-
dinaten..................................................80. 123
Bemerkungen dazu...........................................81. 125
Anwendung auf die Complanation des Ellipsoids ......................82. 126
Lehrsatz über drei sieh rechtwinklig schneidende Flüchen ... 83. 127
Der erweiterte Dupinsche Satz..............................84. 129
Zweiter Beweis des § 63 85. 130
IX. Theorie der kürzesten Linien auf den Flächen.
Lehrsatz über die kürzesten Linien.........................86. 131
Gleichung der kürzesten Linien.............................87. 132
Geometrischer Beweis von § 86 ..................................... 88. 134
Beweis desselben Satzes durch Variationsrechnung . ..... 89. 135
Exeursus über Mechanik . ...........................................90. 139
Die kürzesten Linien auf den Rotationsflächen ......................91. 141
Auf dem dreiaxigen Ellipsoid .......................................92. 143
Lehrsatz über die kürzesten Linien auf dem Ellipsoid .... 93. 147
Satz über die Ellipse und Hyperbel.........................94. 148
Lemma über die Flächen von Gauss, nebst Anmerkung .... 95. 149
Satz über das Ellipsoid, analog § 94 .............................. 96. 151
Neues Coordinatensystcm von Gauss..........................97. 152
Gleichung der kürzesten Linien in diesem System............98. 153
Curvatura Integra..........................................99. 155
X. Die partiellen Differentialgleichungen der Flächen.
Cylinder, Kegelfläche, Hevolutionsfliiehe.................100. 157
Integration der linearen partiellen Differentialgleichungen erster
Ordnung.................................................101. ICO
Integration der partiellen Differentialgleichungen einiger Flächen 102. 164
Nachträge.
1) Vom integrironden Factor . . . ................................ 167
2) Geometrischer Beweis des Meusnierschen Satzes................... 168
3) Lehrsatz über den Krümmungsradius einer Curve auf einer
abwickelbaren Fläche nach der Abwickelung der Fläche .... 169
4) Von den Evoluten der Curven doppelter Krümmung.................. 170
er .՛■
Einleitung.
§ 1.
Erklärung. Man nennt Curven doppelter Krümmung
solche krumme Linien, deren sämmtliclie Punkte nicht in Einer Ebene
enthalten sind.
Anmerkung. Der Ausdruck: doppelte Krümmung ist zu-
erst gewählt worden von Olairaut und hatte bei ihm folgende Be-
deutung. Wenn man sich eine ebene Curve auf zwei andere Ebenen,
z. B. auf zwei Coordinatenebenen projicirt denkt, so werden im All-
gemeinen beide Projectionen wiederum ebene Curven sein. Man kann
jedoch eine der beiden Coordiuatenebenen so wählen, dass die Pro-
jection der gegebenen Curve auf sie eine gerade Linie wird. Bei
Curven dagegen, die nicht in Einer Ebene liegen, ist es unmöglich,
dass die eine Projection jemals eine Gerade werde, und deshalb
sagte Clairaut, eine solche Curve nehme an den Krümmungen bei-
der Projectionen thoil oder sei doppelter Krümmung. Heut zu Tage
hat man die Bezeichnung beibehalten, ihr aber einen ganz andern
Sinn beigelegt. Denkt man sich nämlich in irgend welcher Curve
vier Punkte a, b, c, d, die möglichst nahe an einander liegen, so
kann man offenbar die Gerade ab näherungsweise als die Richtung
der Curve in diesem Punkte betrachten, ebenso bc und cd, und
offenbar ändert sich demnach die Richtung der Curve von einem
Theile zum andern. In diesem Sinne hat also jede Curve eine Krüm-
mung, sie mag eben sein oder nicht in Einer Ebene liegen. Diese
Krümmung geht gleichsam daraus hervor, dass die successiven Tan-
genten der Curve sich beständig ändern. Liegt die Curve nun nicht
in Einer Ebene, so hat sie noch eine andere Art der Krümmung:
denkt man sich durch die drei Punkte a, b, c eine Ebene gelegt,
und ebenso eine durch die drei Punkte b, c, d, so fallen diese beiden
nach der Definition dieser Art Curven nicht zusammen, sondern die
Gerade bc ist wirklich ihre Schnittlinie; es ändert sich also bei dieser
Art Curven ebenfalls die Ebene, welche drei möglichst nahe Punkte
der Curve in sich enthält: die Abweichung von der Richtung findet
tToACHiMSTHAL·. Anwendung L Diffeientialiecbn. 1
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