Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten: 1 Störungen isolierter Randsingularitäten
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Berlin
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1991
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Inhaltsverzeichnis
Teil I: Randwertaufgaben für den Laplace-Operator in Gebieten, die in der Nähe
isolierter Singularitäten des Bandes gestört sind
1. Das Dirichlet- und das Neumann-Problem für den Laplace-Operator in Gebieten
mit Ecken und konischen Punkten 17
1.1. Randwertaufgaben für den Laplace-Operator in einem Streifen 17
1.1.1. Das Dirichlet-Problem 17
1.1.2. Die komplexe Fourier-Transformation 19
1.1.3. Asymptotik der Lösung des Dirichlet-Problems 19
1.1.4. Das Neumann-Problem 20
1.1.5. Abschließende Bemerkungen 21
1.2. Randwertaufgaben für den Laplace-Operator in einem Sektor 22
1.2.1. Zusammenhang zwischen den Randwertaufgaben in einem Sektor und in einem
Streifen 22
1.2.2. Das Dirichlet-Problem 23
1.2.3. Das Neumann-Problem 24
1.3. Das Dirichlet-Problem in einem beschränkten Gebiet mit einem Eckpunkt . . 25
1.3.1. Lösbarkeit der Randwertaufgabe 25
1.3.2. Spezielle Lösungen des homogenen Problems 26
1.3.3. Asymptotik der Lösung 28
1.3.4. Ein Gebiet mit einem „unendlich fernen Eckpunkt" 30
1.3.5. Asymptotik der Lösungen für spezielle rechte Seiten 31
1.3.6. Das Dirichlet-Problem für den Operator A — 1 35
1.3.7. Das Dirichlet-Problem in einem Gebiet mit stückweise glattem Rand 39
1.4. Das Neumann-Problem in einem beschränkten Gebiet mit einem Eckpunkt . 43
1.5. Randwertaufgaben für den Laplace-Operator in einem punktierten Gebiet und im
Äußeren eines beschränkten ebenen Gebietes 47
1.5.1. Das Dirichlet- und das Neumann-Problem in einem ebenen punktierten Gebiet . . 47
1.5.2. Randwertprobleme im Äußeren eines beschränkten Gebietes 49
1.6. Randwertaufgaben in mehrdimensionalen Gebieten 50
1.6.1. Ein Gebiet mit einem konischen Punkt 50
1.6.2. Ein punktiertes Gebiet 52
1.6.3. Randwertaufgaben im Äußeren eines beschränkten Gebietes 53
2. Das Dirichlet- und das Neumann-Problem in Gebieten mit slngulär gestörten
Bändern 55
2.1. Das Dirichlet-Problem für den Laplace-Operator in einem dreidimensionalen Gebiet
mit einer kleinen Öffnung 56
10 Inhaltsverzeichnis
2.1.1. Gebiete und Eandwertaufgaben 56
2.1.2. Asymptotik der Lösung. Die Methode der zusammengesetzten Entwicklungen . . 57
2.1.3. Asymptotik der Lösung. Die Methode der angepaßten Entwicklungen 59
2.1.4. Vergleich der asymptotischen Darstellungen 63
2.2. Das Dirichlet-Problem für den Operator A — 1 in einem dreidimensionalen Gebiet
mit einer kleinen Öffnung 64
2.3. Gemischte Randwertaufgaben für den Laplace-Operator in einem dreidimensionalen
Gebiet mit einer kleinen Öffnung 66
2.3.1. Die Randwertaufgabe mit der Dirichlet-Bedingung auf dem Rand der Öffnung . . 66
2.3.2. Die erste Variante der Konstruktion der Asymptotik 67
2.3.3. Die zweite Variante der Konstruktion der Asymptotik 69
2.3.4. Die Randwertaufgabe mit der Neumann-Bedingung auf dem Rand der Öffnung . 71
2.4. Randwertaufgaben für den Laplace-Operator in ebenen Gebieten mit kleinen
Öffnungen 71
2.4.1. Das Dirichlet-Problem 72
2.4.2. Gemischte Randwertprobleme 76
2.5. Das Dirichlet-Problem für den Operator A — 1 in einem in der Nähe des Eck¬
punktes gestörten Gebiet 79
2.5.1. Aufgabenstellung 79
2.5.2. Die ersten Glieder der Asymptotik 79
2.5.3. Zulässige Reihen 82
2.5.4. Die Umverteilung der Defekte 83
2.5.5. Die Menge der Exponenten in den Potenzen von e, r und q 84
Teil II: Allgemeine elliptische Randwertaufgaben in Gebieten, die in der Um¬
gebung isolierter Singularitäten des Bandes gestört sind
3. Elliptische Bandwertaufgaben in Gebieten mit glatten Bändern, im Zylinder und
in Gebieten mit konischen Punkten 89
3.1. Randwertaufgaben in Gebieten mit glatten Rändern 89
3.1.1. Der Operator einer elliptischen Randwertaufgabe 89
3.1.2. Elliptische Randwertprobleme in Sobolew- und Hölder-Räumen 90
3.1.3. Die adjungierte Randwertaufgabe (der Fall normaler Randbedingungen) . 93
3.1.4. Der adjungierte Operator in Räumen verallgemeinerter Funktionen 94
3.1.5. Elliptische Randwertaufgaben, die von einem komplexen Parameter abhängen . . 95
3.1.6. Randwertaufgaben für elliptische Systeme 99
3.2. Randwertaufgaben in Zylindern und Kegeln 101
3.2.1. Lösbarkeit von Randwertaufgaben in Zylindern mit von t unabhängigen Ko¬
effizienten 102
3.2.2. Asymptotik der Lösungen im Unendlichen für Randwertaufgaben in Zylindern mit
von t unabhängigen Koeffizienten 104
3.2.3. Lösbarkeit von Randwertaufgaben in Kegeln 106
3.2.4. Asymptotik der Lösungen im Unendlichen und in der Nähe der Spitze des
Kegels für Randwertaufgaben mit von r unabhängigen Koeffizienten 108
3.2.5. Randwertaufgaben für elliptische Systeme in Kegeln 109
3.2.6. Asymptotik der Lösung bei gegebener asymptotischer Entwicklung der rechten
Seite 113
3.3. Randwertaufgaben in Gebieten mit konischen Randpunkten 115
3.3.1. Aufgabenstellung 115
3.3.2. Asymptotik der Lösung in der Nähe eines konischen Punktes 116
Inhaltsverzeichnis 11
3.3.3. Formeln für die Koeffizienten in der Asymptotik der Lösung (unter vereinfachen¬
den Voraussetzungen) 118
3.3.4. Formeln für die Koeffizienten in der Asymptotik der Lösung (der allgemeine Fall) 118
3.3.5. Über den Index der Randwertaufgabe 122
4. Asymptotik der Lösungen allgemeiner elliptischer Randwertaufgaben in Ge¬
bieten, die in der Nähe konischer Punkte gestört sind 124
4.1. Formulierung der Randwertaufgaben und einige vorbereitende Betrachtungen . . 124
4.1.1. Die Gebiete 124
4.1.2. Zulässige skalare Differentialoperatoren 125
4.1.3. Grenzoperatoren 126
4.1.4. Matrizen von Differentialoperatoren 127
4.1.5. Randwertaufgaben 127
4.1.6. Funktionenräume, die vom Parameter e abhängen 128
4.2. Transformation der gestörten Randwertaufgabe in ein System von Gleichungen
und ein Theorem über den Index 130
4.2.1. Der Grenzoperator 130
4.2.2. Transformation der Ausgangsaufgabe in ein System von Gleichungen 131
4.2.3. Übergang von einem System von Gleichungen zur ursprünglichen Aufgabe . 134
4.2.4. Fredholm-Eigenschaften des Operators der Randwertaufgabe in einem Gebiet
mit singulär gestörtem Rand 136
4.2.5. Über den Index der Ausgangsaufgabe 137
4.3. Asymptotische Entwicklungen der Daten der Randwertaufgabe 140
4.3.1. Asymptotische Entwicklung der Koeffizienten und der rechten Seite 140
4.3.2. Asymptotische Formeln für die Lösungen der Grenzaufgaben 141
4.3.3. Asymptotische Entwicklungen der Operatoren der Randwertaufgabe 142
4.3.4. Vorläufige Beschreibung des Algorithmus zur Konstruktion der Asymptotik der
Lösung 143
4.3.5. Die Menge der Exponenten in der Asymptotik der Lösungen der Grenzaufgaben . . 146
4.3.6. Formale Entwicklung der Operatoren nach Potenzen des kleinen Parameters. . . 147
4.4. Konstruktion und Begründung der Asymptotik der Lösung der Randwertauf¬
gabe 148
4.4.1. Aufgabenstellung in formaler Matrixschreibweise 149
4.4.2. HilfsOperatoren und ihre Eigenschaften 150
4.4.3. Formale Asymptotik der Lösung im Fall der eindeutigen Lösbarkeit der Grenz¬
aufgaben 151
4.4.4. Eine spezielle Basis im Kokern des Operators Mg 152
4.4.5. Formale Lösung im Fall der mehrdeutigen Lösbarkeit der Grenzaufgaben . 157
4.4.6. Asymptotik der Lösung der singulär gestörten Aufgabe 161
5. Varianten und Folgerungen der asymptotischen Theorie 163
5.1. Abschätzungen der Lösungen des Dirichlet-Problems für den Helmholtz-Operator
in einem Gebiet, dessen Rand in der Nähe des Eckpunktes geglättet ist 163
5.2. Sobolewsche Randwertaufgaben 168
, 5.3. Eine allgemeine Randwertaufgabe in einem Gebiet mit kleinen Öffnungen . 173
5.4. Aufgaben mit nicht glatten und parameterabhängigen Vorgaben 178
5.4.1. Der Fall eines nicht glatten Gebietes 178
5.4.2. Der Fall parameterabhängiger Hilfsaufgaben 180
5.4.3. Der Fall eines parameterunabhängigen Gebietes 182
5.5. Nichtlokale Störungen eines Gebietes mit konischen Punkten 187
5.5.1. Störung eines Gebietes mit glattem Rand 187
12 Inhaltsverzeichnis
5.5.2. Reguläre Störung eines Gebietes mit einer Ecke 189
5.5.3. Eine nichtlokale singuläre Störung eines ebenen Gebietes mit einem Eckpunkt . . . 191
5.6. Asymptotik der Lösungen von Randwertaufgaben in langgestreckten Gebieten . . 195
5.6.1. Aufgabenstellung 195
5.6.2. Grenzaufgaben 196
5.6.3. Lösbarkeit der Ausgangsaufgabe 197
5.6.4. Entwicklungen der rechten Seiten und die Menge der Exponenten in der Asymptotik 199
5.6.5. Methode der Umverteilung der Defekte 200
5.6.6. Die Koeffizienten der asymptotischen Reihe 202
5.6.7. Abschätzung des Restgliedes 204
5.6.8. Beispiel 205
5.7. Asymptotik der Lösungen einer quasilinearen Gleichung bei singulär gestörtem
Rand des Gebietes 206
5.7.1. Ein dreidimensionales Gebiet mit einer kleinen Öffnung 207
5.7.2. Ein ebenes Gebiet mit einer kleinen Öffnung 211
5.7.3. Ein in der Nähe des Eckpunktes geglättetes Gebiet 217
5.8. Über die Durchbiegung einer annähernd polygonalen Platte mit frei gelagertem
Rand 221
5.8.1. Randwertaufgaben in Gebieten mit Ecken 222
5.8.2. Ein singulär gestörtes Gebiet und die Grenzaufgaben 224
5.8.3. Das Hauptglied der Asymptotik 225
5.8.4. Das Hauptglied der Asymptotik (Portsetzung) 227
Teil HI: Asymptotik von Funktionalen über Lösungen von Randwertaufgaben
in Gebieten mit in der Nähe isolierter Singularitäten gestörten Bändern
6. Asymptotik der Intensitätsfaktoren im Fall zusammenlaufender Eckpunkte
oder konischer Punkte 229
6.1. Das Dirichlet-Problem für den Laplace-Operator 230
6.1.1. Aufgabenstellung 230
6.1.2. Asymptotik des Koeffizienten C+ 231
6.1.3. Begründung der Asymptotik des Koeffizienten C+ 232
6.1.4. Der Fall g #= 0 233
6.1.5. Der ebene Fall 234
6.2. Das Neumann-Problem für den Laplace-Operator 234
6.2.1. Aufgabenstellung 234
6.2.2. Grenzaufgaben 234
6.2.3. Der Fall eines nicht zusammenhängenden Grenzgebietes 236
6.2.4. Der Fall eines zusammenhängenden Grenzgebietes 237
6.3. Über die Intensitätsfaktoren bei der Durchbiegung einer dünnen Platte mit einem
Riß 238
6.3.1. Aufgabenstellung 238
6.3.2. Fest eingespannte Risse (Die Asymptotik der Lösung in der Nähe der Rißspitzen) . 239
6.3.3. Fest eingespannte Risse (Die Asymptotik der Intensitätsfaktoren) 240
6.3.4. Frei gelagerte Risse 241
6.3.5. Freie Risse (Die Asymptotik der Lösung in der Nähe der Rißspitzen) 243
6.3.6. Freie Risse (Die Asymptotik der Intensitätsfaktoren) 244
6.4. Antiplanare Verschiebung und ebene Deformation von Gebieten mit Rissen . . . 246
6.4.1. Torsion eines Stabes mit Längsriß 246
Inhaltsverzeichnis 13
6.4.2. Die Aufgabe der ebenen Elastizitätstheorie in einem Gebiet mit eng beieinander
liegenden kollinearen Rissen 249
7. Asymptotik der Energieintegrale bei kleinen Störungen des Bandes in der Nähe
von Ecken und konischen Punkten 255
7.1. Asymptotik der Lösungen der gestörten Aufgabe 256
7.1.1. Die ungestörte Randwertaufgabe 256
7.1.2. Die gestörte Aufgabe 258
7.1.3. Die zweite Grenzaufgabe 258
7.1.4. Asymptotik der Lösungen der gestörten Aufgabe 260
7.1.5. Der Fall rechter Seiten, die in der Umgebung eines Punktes konzentriert sind . . 263
7.2. Asymptotik von Bilinearformen 265
7.2.1. Asymptotik einer Bilinearform 265
7.2.2. Asymptotik einer Bilinearform im Fall rechter Seiten, die in der Umgebung
eines Punktes konzentriert sind 268
7.2.3. Asymptotik einer quadratischen Form 270
7.3. Asymptotik einer quadratischen Form für Aufgaben in Gebieten mit einer kleinen
Öffnung 271
7.3.1. Aufgabenstellung 271
7.3.2. Der Fall eindeutig lösbarer Grenzaufgaben 271
7.3.3. Der Fall kritischer Dimension 274
8. Asymptotik der Energieintegrale für konkrete Aufgaben der mathematischen
Physik 280
8.1. Das Dirichlet-Problem für den Laplace-Operator 280
8.1.1. Störung des Gebietes in der Nähe einer Ecke oder eines konischen Punktes . . . 280
8.1.2. Der Fall rechter Seiten als Funktionen von f 283
8.1.3. Der Fall rechter Seiten, die von x und f abhängen 284
8.1.4. Das Dirichlet-Problem für den Laplace-Operator in Gebieten mit einer kleinen
Öffnung 286
8.1.5. Präzisierung der Asymptotik 288
8.1.6. Ebene Gebiete mit einer kleinen Öffnung 290
8.1.7. Das Dirichlet-Problem für den Laplace-Operator in Gebieten mit mehreren kleinen
Öffnungen 291
8.2. Das Neumann-Problem in Gebieten mit einer kleinen Öffnung 294
8.3. Das Dirichlet-Problem für die biharmonische Gleichung in Gebieten mit einer
kleinen Öffnung 296
8.4. Die Energieänderung in Abhängigkeit von der Länge des Risses 299
8.4.1. Die Aufgabe der antiplanaren Verschiebung 299
8.4.2. Eine Aufgabe der ebenen Elastizitätstheorie 302
8.5. Bemerkungen zum Verhalten der Lösungen der Aufgaben der ebenen Elasti¬
zitätstheorie in der Nähe von Eckpunkten 305
8.5.1. Aufgabenstellungen 305
8.5.2. Asymptotik der Lösung der Aufgabe der antiplanaren Verschiebung 305
8.5.3. Asymptotik der Lösung der Aufgabe über die ebene Deformation 306
8.5.4. Randwertaufgaben in unbeschränkten Gebieten 309
8.6. Herleitung der asymptotischen Formeln für die Energie 311
8.6.1. Aufgabenstellungen 312
8.6.2. Antiplanare Verschiebung 312
8.6.3. Ebene Deformation 314
14 Inhaltsverzeichnis
8.6.4. Eine Präzisierung der asymptotischen Formel für die Energie 315
8.6.5. Ein Materialdefekt in der Nähe einer Rißspitze 316
Teil IV: Asymptotik der Eigenwerte von Randwertaufgaben in Gebieten mit
kleinen Öffnungen
9. Asymptotische Entwicklungen der Eigenwerte klassischer Bandwertaufgaben. . 319
9.1. Asymptotik des ersten Eigenwertes einer gemischten Randwertaufgabe 320
9.1.1. Aufgabenstellung 320
9.1.2. Der dreidimensionale Fall (Die formale Asymptotik) 321
9.1.3. Der ebene Fall (Die formale Asymptotik) 324
9.1.4. Die Begründung der asymptotischen Entwicklungen für den dreidimensionalen
Fall 328
9.1.5. Die Begründung der asymptotischen Entwicklungen für den ebenen Fall . 331
9.2. Asymptotik der Eigenwerte einiger anderer Randwertaufgaben 333
9.2.1. Das Dirichlet-Problem in dreidimensionalen Gebieten mit einer kleinen Öffnung . 333
9.2.2. Das gemischte Randwertproblem in Gebieten mit mehreren kleinen Öffnungen . . 336
9.2.3. Das gemischte Randwertproblem mit Neumann-Bedingungen auf dem Rand der
kleinen Öffnung 339
9.2.4. Das Dirichlet-Problem auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit einem kleinen
Loch 342
9.3. Asymptotik der Eigenwerte der Aufgaben der Elastizitätstheorie für Körper mit
kleinen Einschlüssen und Öffnungen 344
9.3.1. Aufgabenstellung 344
9.3.2. Die Gestalt der Asymptotik 344
9.3.3. Spezielle Lösungen der Grenzschichtaufgabe 345
9.3.4. Störung des Eigenwertes Ao 348
9.3.5. Die Aufgabe der ebenen Elastizitätstheorie (Eine Öffnung mit freiem Rand) . 351
9.3.6. Asymptotik eines Eigenwertes des Dirichlet-Problems für den biharmonischen
Operator (Eigenschwingungen einer dünnen Platte) 353
10. Über homogene Lösungen von Bandwertproblemen im Äußeren eines spitzen
Kegels 355
10.1. Die formale Asymptotik 358
10.1.1. Aufgabenstellung 358
10.1.2. Der Fall n — 1 2m 358
10.1.3. Der Fall n — 1 = 2ra 362
10.2. Die Invertierung des Hauptteils eines Operatorbüschels über einer Kugeloberfläche
mit einer kleinen Öffnung. Eine Hilfsaufgabe mit Matrixoperator 365
10.2.1. Ein „fast inverser" Operator (Der Fall Im n — 1) 365
10.2.2. Ein „fast inverser" Operator (Der Fall 2m = n — 1) 368
10.2.3. Transformation in eine Aufgabe mit Matrixoperator (Der Fall 2m n — 1) . . . 372
10.2.4. Transformation in eine Aufgabe mit Matrixoperator (Der Fall 2m = n — 1) . . . 374
10.3. Begründung der Asymptotik der Eigenwerte (Der Fall 2m n — 1) 375
10.4. Begründung der Asymptotik der Eigenwerte (Der Fall 2m = n — 1) 380
10.5. Beispiele und Folgerungen 389
10.5.1. Ein skalarer Operator 389
10.5.2. Das Lamesche und das Stokessche System 390
10.5.3. Stetigkeit der Lösung des Dirichlet-Problems in einem konischen Punkt 391
Inhaltsverzeichnis 15
10.6. Beispiele unstetiger Lösungen des Dirichlet-Problems in Gebieten mit einem
konischen Punkt 391
10.6.1. Eine Gleichung zweiter Ordnung mit unstetigen Lösungen 392
10.6.2. Das Dirichlet-Problem für eine elliptische Gleichung vierter Ordnung mit reellen
Koeffizienten 394
10.7. Singularitäten der Lösungen des Neumann-Problems 396
10.7.1. Einführung 396
10.7.2. Formale Asymptotik 397
10.8. Begründung der asymptotischen Formeln 400
10.8.1. Die Vielfachheit des Spektrums in der Nähe des Punktes A = 2 400
10.8.2. Ein fast inverser Operator für das Neumann-Problem in Oe 402
10.8.3. Begründung der Asymptotik der Eigenwerte 407
Kommentare 411
Literaturverzeichnis 413
Inhaltsübersicht zu Band II 426
Symbolverzeichnis 428
Sachverzeichnis 431 |
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| author | Mazʹja, Vladimir Gilelevič 1937- Nazarov, Sergej A. Plamenevskij, Boris A. |
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