Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Opladen
Westdt. Verl.
1976
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| Ausgabe: | 2., verb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Moderne Lehrtexte
Wirtschaftswissenschaften ; 13 |
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| adam_text | Inhalt
Einleitung 11
1. Mathematische Grundlagen 13
1.1. Aussagenlogik 13
1.1.1 Aussagen und Wahrheitswert 13
1.1.2. Operationen mit Aussagen 14
1.1.3. Implikation und Äquivalenz 17
1.1.4. Beweisverfahren 20
1.1.5. Zusammenfassung von Gesetzen der Aussagenlogik in der Aussagenalgebra 22
Aufgaben zu 1.1.: Aussagenlogik. Analyse einfacher ökonomischer Sätze 23
1.2. Mengenlehre 26
1.2.1. Mengen 26
1.2.2. Mengenoperationen 29
1.2.3. Quantoren 32
1.2.4. Relationen und Ordnungsbeziehungen 32
1.2.5. Beziehung zwischen Aussagen- und Mengenalgebra. Der strukturelle Aspekt 34
Aufgaben zu 1.2.: Mengenlehre. Erfassung eines Netzplans und auftretende Probleme 36
1.3. Algebraische Strukturen und Zahlmengen 40
1.3.1. Struktur mit einer Operation: Gruppe 41
1.3.2. Strukturen mit zwei Operationen (+ und •): Körper und Ring 44
Aufgaben zu 1.3.: Algebraische Strukturen. Der minimale Transportweg in einem
Reihenfolgeproblem 45
2. Einführung in Grundbegriffe und Probleme der linearen Algebra 50
2.1. Linearität 50
2.1.1. Linearformen und lineare Funktionen 50
2.1.2. Lineare Gleichungen 52
2.1.3. Operationen mit Linearformen und linearen Gleichungen 53
Aufgaben zu 2.1.: Linearität. Die Umsatzfunktion zu einer linearen Preis-Absatz-
Funktion 54
2.2. Lineare Gleichungssysteme 55
2.2.1. Problemstellung 55
2.2.2. Systematische Lösungsmethode für lineare Gleichungssysteme 56
2.2.3. Geometrische Interpretation der Lösung linearer Gleichungssysteme 59
2.2.4. Lineare homogene Gleichungssysteme 60
2.2.5. Lineare inhomogene Gleichungssysteme 61
Aufgaben zu 2.2.: Lineare Gleichungssysteme. Ein Mischungsbeispiel 62
7
2.3. Vektoren im Rn 67
2.3.1. Definition, Operationen und Regeln 67
2.3.2. Lineare Gleichungen in n-Vektoren 69
2.3.3. Skalarprodukt, Norm und Abstand im Rn 70
Aufgaben zu 2.3.: Vektorrechnung. Ein Beispiel zur Listenverarbeitung in einer Bank 72
2.4. Ein Beispiel der Linearen Programmierung 74
3. Der lineare Vektorraum 77
3.1. Lineare Vektorräume und Unterräume 77
3.1.1. Definition des Vektorraumes 77
3.1.2. Der (lineare) Unterraum eines Vektorraumes 79
3.2. Linearkombinationen, Abhängigkeit und Unabhängigkeit 80
3.2.1. Linearkombination und Erzeugung von Unterräumen 80
3.2.2. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 81
3.3. Basis und Dimension 82
3.3.1. Basis und Austauschsätze 82
3.3.2. Basis und Dimension 86
3.3.3. Summenraum und Dimensionssatz 87
3.4. Die Lösbarkeit linearer Gleichungen und Gleichungssysteme 88
3.4.1. Lineare Gleichungen im allgemeinen Vektorraum 88
3.4.2. Lineare homogene Gleichungen 89
3.4.3. Lineare inhomogene Gleichungen 90
3.5. Lineare Gleichungssysteme 91
3.5.1. Der Rang einer Matrix 91
3.5.2. Verfahren zur Bestimmung des Ranges einer Matrix 93
3.5.3. Die Lösbarkeitskriterien eines linearen Gleichungssystems 94
3.5.4. Basislösungen 94
Aufgaben zu 3.: Der lineare Vektorraum. Weitere Analyse des Mischungsproblems 96
4. Matrizenrechnung 102
4.1. Matrizen und Operationen 102
4.1.1. Begriff der Matrix 102
4.1.2. Addition von Matrizen und Multiplikation mit Skalaren 103
4.1.3. Matrizenmultiplikation 105
4.1.4. Spezielle Matrizen 107
4.1.5. Transposition und Symmetrie 108
4.1.6. Blockmatrizen 109
Aufgaben zu 4.1.: Matrizenrechnung: Matrizen und Operationen. Problem der
Materialverflechtung in einem Betrieb 110
4.2. Reguläre und singuläre Matrizen, Inverse 118
4.2.1. Regularität und Singularität 118
4.2.2. Inverse einer Matrix 119
4.2.3. Gaußscher Algorithmus zur Berechnung der Inversen 121
4.2.4. Orthogonalmatrizen. Inverse von Blockmatrizen und andere spezielle Inverse 124
4.2.5. Matrizenreihen und Leontief-Inverse 126
Aufgaben zu 4.2.: Reguläre und singuläre Matrizen. Ein Problem der Input-Output-
Rechnung 128
8
4.3. Determinanten und Matrizen 132
4.3.1. Definition und Eigenschaften 132
4.3.2. Determinante, Rang und Inverse, Cramersche Regel 137
4.3.3. Weitere skalare Funktionen auf Matrizen: Spur 139
Aufgaben zu 4.3.: Determinanten und Matrizen. Probleme der gewöhnlichen linearen
Regression ]40
4.4. Eigenwertproblem. Quadratische Formen und deflnite Matrizen 143
4.4.1. Eigenwerte 143
4.4.2. Eigenwerte symmetrischer Matrizen 145
4.4.3. Quadratische Formen 146
4.4.4. Kriterien der Definität 149
Aufgaben zu 4.4.: Eigenwerte und Definitheit. Probleme in der orthogonalen und
gewöhnlichen linearen Regression 150
4.5. Matrizen und lineare Abbildungen (Transformationen) 154
4.5.1. Abbildungen 154
4.5.2. Lineare Abbildungen 155
4.5.3. Probleme der Matrizenrechnung und Lineare Transformationen 158
Aufgaben zu 4.5.: Matrizen und lineare Abbildungen. Lineare Trnsaformationen
im Input-Output-Modell 159
5. Lineare Programmierung und n-dimensionale Geometrie 162
5.1. Lineare Programmierung 162
5.1.1. Das allgemeine Problem der linearen Programmierung 162
5.1.2. Die Lösung eines linearen Programms. Eine Einfuhrung in die
Simplexmethode 164
5.1.3. Der Basis- oder Eckentausch der Simplexmethode 168
5.1.4. Problem der Anfangslösung. 2-Phasen-Methode 176
Aufgaben zu 5.1.: Lineare Programmierung 179
5.2. n-dimensionale Geometrie 182
5.2.1. Punktmengen, Geraden und Hyperebenen 182
5.2.2. Konvexe Mengen und Polyeder. Beschränktheit und Extremalpunkte 186
5.2.3. LP-Nebenbedingungen und konvexe Polyeder, Ecken und Maximalpunkte 188
5.2.4. Konvexe Kegel und konvexe Polyederkegel 192
Aufgaben zu 5.2.: n-dimensionale Geometrie 196
6. Grundlagen der Analysis 199
6.1. Folgen, Reihen und Rentenrechnung 199
6.1.1. Absolutbetrag, Intervalle, Maximum 199
6.1.2. Folgen und Grenzwerte von Folgen. Rentenendwertformeln 201
6.1.3. Unendliche Reihen 205
Aufgaben zu 6.1.: Folgen, Reihen und Rentenrechnung. Rentenbarwert und
Ausgleichszahlung 206
6.2. Funktionen einer Veränderlichen 209
6.2.1. Die Funktionen und ihre elementaren Eigenschaften 209
6.2.2. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 214
Aufgaben zu 6.2.: Funktionen einer Veränderlichen 217
9
7. Differentialrechnung 221
7.1. Differentialrechnung der Funktionen einer Veränderlichen 221
7.1.1. Differentialquotient und Differentiationsregeln 221
7.1.2. Differentiale und Ableitungen höherer Ordnung 225
7.1.3. Der Funktionsverlauf: Monotonie und Konvexität 227
7.1.4. Extremwerte und Wendepunkt 229
Aufgaben zu 7.1.: Differentialrechnung der Funktion einer Veränderlichen. Elastizität
einer Funktion. Losgrößenbestimmung 232
7.2. Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Veränderlichen 236
7.2.1. Partielle Ableitungen: Gradient und totales Differential 236
7.2.2. Vektorielle Funktionen und Funktionalmatrix, lineare und quadratische
Funktionen 240
7.2.3. Extremwerte einer Skalarfunktion mehrerer Variablen und zweite partielle
Ableitungen 243
7.2.4. Extremwerte unter Nebenbedingungen. Der Ansatz von Lagrange 247
Aufgaben zu 7.2.: Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Veränderlichen.
Homogene Funktionen und Minimalkostenkombination 253
Literaturverzeichnis 258
Sachverzeichnis 260
10
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