Analyse numèrique des inéquations variationnelles: 1 Théorie générale, premières applications
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Französisch |
| Veröffentlicht: |
Paris
Dunod
1976
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TOME 1
CHAPITRE 1 : Méthodes générales d approximation des problèmes
d inéquations stationnaires 1
Orientation 1
1. Exemples 1
1.1. Problèmes de mécanique des fluides dans les milieux à frontière
semi perméable 1
1.2. Problème élasto plastique modèle 5
1.3. Problème modèle de frottement 7
1.4. Un problème d écoulement 9
1.5. Orientation 10
2. Formulation générale des inéquations variationnelles stationnaires ... 10
2.1. Le cas symétrique 10
2.2. Le cas non symétrique 13
2.3. Orientation 14
3. Procédés d approximation en dimension infinie 15
3.1. Approximations successives 15
3.2. Pénalisation 19
3.3. Régularisation 21
3.4. Dualité (I) 22
3.5. Dualité (II) 26
3.6. Dualité (III) 31
3.7. Remarques diverses 37
3.8. Orientation 38
4. Approximations internes 38
4.1. Approximations internes de V. Eléments finis 38
4.2. Schémas d approximation interne dans le cas des équations 40
4.3. Approximations de K 41
4.4. Schémas d approximation du problème initial 42
4.5. Schémas d approximation des problèmes pénalisés ou régularisés 44
4.6. Schémas d approximation des problèmes « duaux » 45
4.7. Problèmes ouverts 46
X Table des matières
5. Approximations externes 50
5.1. Motivation. Un exemple 50
5.2. Approximations externes pour V,a,K,j 54
5.3. Schémas d approximation externes 56
6. Conclusions 59
CHAPITRE 2 : Algorithmes d optimisation 60
Orientation 60
1. La méthode de relaxation 60
1.1. Exposé de la méthode de relaxation ponctuelle. Cas sans
contrainte 60
1.2. Relaxation ponctuelle. Cas avec contrainte 65
1.3. Relaxation par blocs 68
1.4. Sur relaxation et sous relaxation 68
1.5. Une classe de fonctionnelles non différentiables minimisables par
relaxation 73
2. Les méthodes du type gradient et gradient projeté 76
2.1. Généralités 77
2.2. Méthodes du type gradient (cas sans contraintes) 77
2.3. Méthodes du type gradient conjugué (cas sans contraintes) 78
2.4. Cas avec contraintes 81
3. Les méthodes de pénalisation et variantes 83
3.1. Généralités 83
3.2. Méthodes intérieures 83
3.3. Méthodes extérieures 85
3.4. Méthodes des centres à troncature variable 87
4. Méthodes de dualité 90
4.1. Généralités 90
4.2. Exemples 92
4.3. Un algorithme de recherche de point selle 93
4.4. Un deuxième algorithme de recherche de point selle 95
5. Application des méthodes de relaxation et dualité à l analyse numérique
d un problème variationnel modèle 99
5.1. Généralités 99
5.2. Le problème continu 99
5.3. Le problème approché 101
5.4. Convergence de la solution approchée lorsque h 0 103
5.5. Résolution du problème approché 106
5.6. Résolution par une méthode de dualité 106
5.7. Analyse des résultats numériques 110
Table des matières XI
6. Commentaires 115
CHAPITRE 3 : Analyse numérique du problème de la torsion élasto
plastique d une barre cylindrique 118
Introduction 118
1. Position du problème continu. Motivation physique. Orientation 118
1.1. Position du problème continu 118
1.2. Motivation physique 119
1.3. Orientation 120
2. Quelques propriétés de la solution du problème (Po) 121
2.1. Résultats de régularité 121
2.2. Un problème variationnel équivalent 121
2.3. Quelques cas particuliers où la solution est connue 122
3. Analyse numérique du problème (P^ 124
3.1. Orientation 124
3.2. Approximation externe du problème (P^ 124
3.3. Convergence de la solution approchée lorsque h 0 126
3.4. Résolution du problème approché par surrelaxation ponctuelle
avec projection 132
3.5. Applications. Exemple 1 133
3.6. Applications. Exemple 2 135
4. Approximations internes de (Po) 137
4.1. Une méthode d éléments finis • • • • 137
4.2. Une méthode d approximation interne utilisant les fonctions
propres de l opérateur — A dans Hq{Q) 142
5. Approximations externes de (Po) 145
5.1. Approximations de / 145
5.2. Approximations externes de Ko 147
5.3. Formulation du problème approché 150
5.4. Résolubilité du problème approché 150
6. Convergence des approximations internes et externes 151
6.1. Un lemme de densité 151
6.2. Convergence des approximations internes 153
6.3. Convergence des approximations externes 158
7. Résolution numérique des problèmes approchés relatifs à (Po), par
relaxation et surrelaxation ponctuelle avec projection séquentielle. 176
7.1. Orientation 176
7.2. Description de la méthode 177
7.3. Résultats de convergence 181
XII Table des matières
7.4. Applications. Exemple 1 190
7.5. Applications. Exemple 2 193
7.6. Applications. Exemple 3 194
7.7. Remarques diverses 195
8. Résolution des problèmes approchés relatifs à (Po) par des méthodes de
pénalisation 197
8.1. Orientation 197
8.2. Une première méthode de pénalisation 198
8.3. Une deuxième méthode de pénalisation 207
8.4. Comparaisons 219
9. Résolution des problèmes approchés relatifs à (Po) par des méthodes de
dualité 219
9.1. Introduction et orientation 219
9.2. Application de la méthode de dualité. Cas de l approximation par
éléments finis du n° 4.1 224
9.3. Application de la méthode de dualité. Cas de l approximation
interne par fonctions propres de — A dans Hq(Q) 233
9.4. Application de la méthode de dualité. Cas des approximations
externes du n° 5 237
9.5. Application de la méthode de dualité du n° 9.1.3 à la résolution
des problèmes approchés 240
10. Commentaires 247
RÉFÉRENCES 251
PLAN DU TOME 2
CHAPITRE 4 : Problèmes de climatisation, unilatéraux an bord et
inéquations variationnelles elliptiques d ordre 4
CHAPITRE 5 : Analyse numérique de l écoulement stationnaire d un
fluide de Bingham dans une conduite cylindrique
CHAPITRE 6 : Méthodes générales d approximation et de résolution des
inéquations variationnelles d évolution
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