Methoden der Potentialtheorie für elliptische Differentialgleichungen beliebiger Ordnung:
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Basel [u.a.]
Birkhäuser
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I. Funktionalanalysis, Maß- und Integrationstheorie 1
§ 1. Topologische Vektorräume 1
1.1. Bezeichnungen 1
1.2. Halbnormen und lokalkonvexe Topologien 2
1.3. Dualität 3
1.4. Faktortopologie und induktiver Limes 5
1.5. Stetige Projektionen 6
1.6. Beispiele 7
1.7. Differentialoperatoren und distributionentheoretische Lösungen 10
1.8. Halbgeordnete topologische Vektorräume 11
§ 2. Maß- und Integrationstheorie 12
2.1. (T-Algebren und o-Ideale 12
2.2. Maße und äußere Maße auf a- Algebren 13
2.3. Integration meßbarer Funktionen 16
2.4. Grenzübergang unter dem Integral 17
2.5. Substitutionsregel 17
2.6. Absolutstetigkeit und Satz von Radon-Nikodym 17
2.7. Satz von Fraisi 18
2.8. RADON-Maße 18
2.9. Halbstetige Funktionen 19
2.10. Anderer Zugang zur Integrationstheorie 20
2.11. Topologische Eigenschaften von SOJ(X) 22
2.12. Beispiele 24
§ 3. Konvexität und CnoQtrET-Satz 24
3.1. Schwerpunkt von Maßen 24
3.2. Satz von Krein-Mil mau 25
3.3. Satz von Choquet 25
3.4. CHOQTJET-Rand und SiLov-Rand 26
II. Potentiale und Faltungsprodukte 28
§ 1. Kerne und Potentiale 28
1.1. Potentiale von Maßen bezüglich meßbarer Kerne 28
1.2. Halbstetige Kerne und Potentiale 29
1.3. Stetige Potentiale 30
1.4. Quasierbliche Kegel, Mengen der Kapazität Xull für meßbare Kerne 30
1.5. Differentiation von Potentialen 35
1.6. Faltung von Maßen, Faltungskerne 36
X Inhaltsverzeichnis
§ 2. Polare Kerne 38
2.1. BiESzsche Kerne 38
2.2. Verhalten der Potentiale bei Konvergenz von Maßen 38
2.3. Gleichmäßige Konvergenz, Stetigkeit von Potentialen 39
2.4. Eine Identität für polare Kerne 41
III. LAPLACESche Differentialgleichung 42
§ 1. Einführendes über LAPLACE-Operator und harmonische Funktionen 42
1.1. Mittelwert-Eigenschaften harmonischer Funktionen 42
1.2. NEwroxscher Kern, WEYLsches Lemma 45
1.3. Maximum-Prinzip 46
1.4. DmiCHLET-Problem und Balayage für reguläre Gebiete 47
1.5. Eine Stetigkeitseigenschaft von IT 50
1.6. PoissoN-Integral für die Kugel 51
§ 2. Grundlegende Eigenschaften des NEWTONschen Potentials 54
2.1. Stetige Potentiale und Mengen der Kapazität Null 54
2.2. Allgemeine Eigenschaften des NEwroirsehen Potentials 55
2.3. J-Absolutstetigkeit 57
2.4. Zusammenhang zwischen Balayage und Potentialen 59
2.5. Eine Bemerkung über Dichtheit stetiger Potentiale 61
2.6. Harmonische Maße für beliebige beschränkte Gebiete 62
2.7. GREENsche Funktion 65
2.8. Inhomogenes DntiCHLET-Problem 69
2.9. RusGE-Eigenschaft, Approximation, verallgemeinerte Randwerte 71
§ 3. RiESz-Kerne und Potentiale 72
3.1. RiESZ-Potentiale und Energie 73
3.2. RiESZ-Kapazität 77
3.3. Gleichgewichtsmaß kompakter Mengen 80
3.4. Äquivalente Definitionen und weitere Eigenschaften der Kapazität 82
3.5. Inneres Gleichgewichtsmaß beliebiger Mengen 85
3.6. Eigenschaften der inneren und äußeren Kapazität 89
3.7. Äußeres Gleichgewichtsmaß beliebiger Mengen 90
3.8. Kapazitätsfähigkeit der BoKEL-Mengen 95
§ 4. Zusammenstellung weiterer Resultate 98
4.1. Energie und Balayage-Prinzip 98
4.2. WlEKEB-Kriterium 99
4.3. Metrische Eigenschaften der Kapazität 99
4.4. Bemerkungen über Potentiale 100
§ 5. Inverses Problem der Potentialtheorie 101
5.1. Definitionen und elementare Eigenschaften 101
5.2. Konvexität und extremale Massen 106
5.3. Stetige Inverse des Balayage-Operators 114
5.4. Physikalische Interpretation und numerische Behandlung 118
5.5. Bemerkungen, Probleme 123
Inhaltsverzeichnis XI
IV. HELMHoi/rzsche Schwingungsgleichung 126
§ 1. Äquivalente Formulierung des DnHCHLET-Problems 126
1.1. .^-Eigenschaften der Potentiale 126
1.2. Uniformulierung mittels Lösung beim LAPLACE-Operator 128
1.3. Lösbarkeit des DmiCHLET-Probleins 130
§ 2. Maximum-Abschätzung für beliebige beschränkte Gebiete und Balayage 130
2.1. Maximum-Abschätzung 130
2.2. Balayage-Prinzip 132
§ 3. Harmonische Maße 133
3.1. J-Absolutstetigkeit 133
3.2. Absolutstetigkeit und Bandverhalten 134
3.3. Weitere Eigenschaften von Positiv- und Negativteil 135
3.4. Lösung für integrierbare Randwerte 137
V. Elliptische Randwert-Problemo . 138
§ 1. SoBOLEv-Räume 138
1.1. Die Bäume W- (Ü) und H*--(G) 138
1.2. Die Bäume W- V(Q) 140
§ 2. Das DntiCHLET-Problem 142
2.1. Der Begriff der Elliptizität 142
2.2. DlBiCHLETsche Bilinearformen 144
2.3. Formulierung des DnacHLET-Problems 145
2.4. Methode der orthogonalen Projektion und DiBiCHLET-Prinzip 148
2.5. Lösung des verallgemeinerten DuucHLET-Problems 150
2.6. Einige Bemerkungen zur ßegularitätstheorie 156
2.7. Funktionalanalytische Aspekte, normale Lösbarkeit 158
§ 3. Elliptische Bandwertprobleme 161
3.1. Eigentlich elliptische Operatoren und allgemeine Randbedingungen 161
3.2. GEEEKsche Formeln 162
3.3. Allgemeine Eigenschaften linearer Randwertprobleme 163
3.4. XP-Abschätzungen 166
3.5. ScHATJDER-Absehätzungen 168
§ 4. Fundamentallösung elliptischer Operatoren 169
4.1. Allgemeine Eigenschaften 169
4.2. Fundamentallösung für Operatoren mit konstanten Koeffizienten 170
4.3. Abschätzung der Singularität 172
4.4. JoHNsche Identität 174
4.5. Beispiele 177
VI. Maximum-Abschätzungen für das DiKiciiLET-Problem 179
§ 1. Poissox-Kerne im Halbraum 179
1.1. Vorbemerkungen 179
1.2. Konstruktion der PoissoN-Kerne 180
1.3. Standard-Abschätzungen 183
XII Inhaltsverzeichnis
§ 2. Konstruktion und Eigenschaften einer Hilfsfunktion 187
2.1. Konstruktion von z(x, t) 187
2.2. Abschätzung von D^z 188
2.3. Abschätzung von L z 190
§ 3. Hilfsmittel der Interpolationstheorie 191
3.1. Komplexe Interpolation 191
3.2. Interpolationseigenschaften der SOBOLEV-Eäume 194
§ 4. Abschätzungen in L* 194
4.1. Abschätzungen für v, 194
4.2. Abschätzung der Bilinearform 198
§ 5. Maximum-Abschätzung 200
5.1. Hilfsfunktion in ü 200
5.2. Abschätzung und Existenzsatz 202
5.3. Inhomogenes Problem 204
YEL WHITNEY-Fortsetzung und Kegularität kompakter Mengen 206
§ 1. WHiTNEYscher Fortsetzungssatz 206
1.1. WHITNEY-TAYLOR-Felder 206
1.2. Satz von Whitney 207
§ 2. g-reguläre Mengen 212
2.1. Quotientenraum-Norm in Tf«(X) 212
2.2. Äquivalente Formulierung der g-Regularität 213
2.3. Beispiel 215
2.4. Weitere Spezialfälle 215
§ 3. Darstellung von Distributionen durch Maße 221
3.1. Stetige Linearformen auf W (K) 221
3.2. Darstellung von Distributionen 222
3.3. Struktur von 9J 223
VIII. Potentialtheorie für elliptische Gleichungen beliebiger Ordnung 226
§ 1. Potentialtheoretische Eigenschaften der Fundamentallösung 226
1.1. DiBiCHLET-Problem in der TF-TAYLOR-Formulierung 226
1.2. Integration von Ableitungskernen 227
1.3. Abschätzung der Singularität 228
1.4. Vektorwertige Potentiale 228
1.5. Stetige Potentiale und Mengen der Kapazität Null 229
1.6. Unbestimmtheiten bzw. Singularitäten beliebiger Potentiale 231
§ 2. Das Balayage-Prinzip 231
2.1. Die Räume D(ü) bzw. D*(ß) 231
2.2. Kernfreie Balayage, harmonische Maße 231
2.3. Interpretation durch Potentiale 233
2.4. Andere Nullmengen und Potentialidentitäten 234
Inhaltsverzeichnis XIII
2.5. Die Räume S(ß) bzw. S*(ß) 234
2.6. Bemerkungen 235
2.7. Beziehung zwischen den harmonischen Maßen von L und L* 236
§ 3. Eindeutigkeit und Absolutstetigkeit 237
3.1. Reichhaltigkeit der stetigen Potentiale 237
3.2. Potentiale von Distributionen 238
3.3. Folgerungen über Approximation und inverses Problem 239
3.4. Elemente aus 91 mit nichtverschwindendem Potential 239
3.5. c7-absolutstetige Distributionen 240
3.6. Balayage von Distributionen 240
3.7. Bedingung für Dichtheit stetiger Potentiale auf dÜ 241
3.8. Eindeutigkeit der absolutstetigen Gefegten 242
3.9. Bemerkung über die Bilinearform 243
§ 4. Folgerungen für das DmiCHLET-Problem 243
4.1. Dichtheit stetiger Potentiale, wenn die harmonischen Maße stetige Potentiale haben 243
4.2. GKEENsche Kerne für das DnucHLET-Problem 245
4.3. Balayage für das inhomogene Problem - 246
§ 5. Approximation durch Potentiale 247
5.1. Definition und elementare Eigenschaften 247
5.2. Berücksichtigung von Randbedingungen 248
5.3. Approximation auf dem Rand eines Teilgebietes 249
5.4. Approximation durch Maße mit glatten Dichten 250
5.5. Verallgemeinerte Randwerte 252
§ 6. Kapazität, Stetigkeitsprinzip und weitere Eigenschaften der Potentiale 253
6.1. Zusammenhang mit WiENERschen Nullmengen 253
6.2. Gleichheit mit WiENERschen Nullmengen für spezielle Operatoren 253
6.3. Beschreibung von Stetigkeit und Beschränktheit von Potentialen durch den Kern *V 255
6.4. Stetigkeitsprinzip für 5*, ein Konvergenzsatz 255
§ 7. Allgemeine elliptische Randbedingungen 257
7.1. Maximum-Abschätzung und kernfreie Balayage 257
7.2. Stetige Potentiale und Kapazität 259
7.3. Inhomogenes Problem 261
7.4. Zusammenhang zwischen harmonischen und GEEENschen Funktionalen 262
§ 8. Stark elliptische Systeme 263
8.1. Maximum-Abschätzung 263
8.2. Balayage-Prinzip 265
8.3. Stetige Potentiale und Mengen der Kapazität Null 265
8.4. GREENsche Kerne, Approximation 267
§ 9. Beispiele 267
9.1. Bipotentialgleichung im K- 267
9.2. Lösung des DmiCHLET-Problems für Amu = 0 im Fall der Kugel 270
9.3. Randwert-Probleme für Operatoren, die faktorisierbar sind 271
9.4. Mittelwertsätze für polyharmonische Funktionen 272
XIV Inhaltsverzeichnis
§ 10. Bemerkungen und Ergänzungen, inverses Problem 273
10.1. Zurückführung der Balayage auf harmonische Distributionen 273
10.2. Weitere Stetigkeitseigenschaften von IJ 273
10.3. Inverses Problem 276
§ 11. Offene Probleme 280
11.1. Verhalten der Abschätzungskonstanten bei Änderung des Gebietes 280
11.2. DnttCHLET-Problem in beliebigen Gebieten 281
11.3. Probleme zum Balayage-Prinzip und zur Regularität 281
11.4. Weitere Probleme über Potentiale 282
IX. Potentialtneorie lür elliptische Gleichungen beliebiger Ordnung (Fortsetzung) . .284
§ 1. BEPPO-LEVI-Funktionen 284
1.1. Vollständigkeit von BLm(Q) 284
1.2. Orthogonale Zerlegungen 287
1.3. Interpretation als Distributionen 288
§ 2. Projektionsmethode beim DntiCHLET-Problem 290
2.1. Existenz und Eindeutigkeit 290
2.2. Bemerkungen 291
§ 3. Distributionen endlicher Energie und ihre Potentiale 292
3.1. Der Raum Wc 292
3.2. Quasistetigkeit der Potentiale 295
3.3. Zusammenhang mit den BEPPO-LEVi-Funktionen 298
§ 4. Peinstetigkeit und BEPPO-LEVi-DENY-Funktionen 301
4.1. cr-feine Topologie 301
4.2. BBPPO-LEVi-DENY-Funktionen in ß 306
§ 5. Anwendungen auf das DmicHLET-Problem 309
5.1. Feines DntiCHLET-Problem (Existenz) 309
5.2. Stabilität im Sinne von BabttSka (Eindeutigkeit) 311
5.3. Randeigenschaften der HiLBEST-Raum-Lösung 314
§ 6. Kapazität bezüglich koerziver Bilinearformen 316
§ 7. Weitere Kapazitätsbegriffe 320
7.1. Kapazität im Sinne von Kondrat ev 321
7.2. Kapazitätsbegriffe im Sinne von Maz ja 324
7.3. Einige weitere Kapazitätsbegriffe 327
7.4. Beziehungen zwischen den verschiedenen Kapazitäten, Zusammenhang zur Wieneb-
bzw. RiESZ-Kapazität 328
7.5. Kapazität und HArsDORir-Maß 331
§ 8. Anwendungen der Kapazitätstheorie 333
8.1. Wachstumseigenschaften für die Lösungen elliptischer Gleichungen, Existenz- und
Eindeutigkeitsaussagen für das DmiCHLET-Problem 333
8.2. Einbettungssätze und Diskretheit des Spektrums elliptischer Operatoren 336
8.3. Hebbarkeit von Singularitäten 338
8.4. Das NEUMANN-Problem in Gebieten mit nichtregulärem Rand 341
8.5. Das Randverhalten der Lösungen quasilinearer elliptischer Gleichungen 2. Ordnung 343
8.6. Weitere Anwendungen 347
Inhaltsverzeichnis XV
X. Das Balayage-Prinzip für allgemeine Bandwert-Probleme 348
§ 1. Allgemeine kernfreie Balayage 348
1.1. Balayage-Prinzip 348
1.2. Harmonische Funktionale 351
1.3. Darstellungen durch Maße 352
§ 2. Interpretation durch Potentiale 353
2.1. Verhalten gewisser Distributionen in CX 353
2.2. Potentiale außerhalb des Gebietes 354
2.3. Bemerkung über Reichhaltigkeit von Potentialen 356
§ 3. Schwache Lösungen und Kapazitätsbegriffe 358
3.1. Potentiale und Nullmengen für weitere Kerne 358
3.2. Potentiale von Maßen aus © 359
§ 4. Balayage beim CAtrcHY-Problem für hyperbolische Gleichungen 360
4.1. Kernfreie Balayage 360
4.2. Kerne und Potentialidentitäten 362
§ 5. GREENsche Funktionale beim inhomogenen Randwertproblem 362
5.1. Balayage-Prinzip 362
5.2. Zusammenhang zwischen harmonischen und GKEENSchen Funktionalen 363
5.3. Realisierung in anderen Räumen 366
§ 6. Mittelwertsätze bei partiellen Differentialgleichungen 366
6.1. Allgemeine Mittelwertsätze und Balayage 366
6.2. FoTJKiER-Transformierte von Mittelungsmaßen 368
6.3. Existenz charakterisierender Mittelungsmaße 370
§ 7. Bemerkungen 371
7.1. PizzETTische Formel 371
7.2. AsGEmssONscher Mittelwertsatz 372
7.3. Mittelung über konfokale Ellipsoide 372
XI. Hinweise auf weitere Resultate, Arbeitsrichtungen und Literatur 373
§ 1. Potentialtheorie für Gleichungen zweiter Ordnung 373
1.1. Bemerkungen zur Literatur 373
1.2. Parabolische Differentialgleichungen 373
§ 2. Systeme zweiter Ordnung 374
2.1. Randwert-Probleme 374
2.2. Harmonische Maße 375
§ 3. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Wellengleichung im M2 376
3.1. Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 376
3.2. Potentiale bei der Wellengleichung 381
3.3. DntiCHLET-Problem in Zweieckgebieten 383
3.4. Charakteristisches Anfangswert-Problem 385
Literaturverzeichnis 387
Symbolverzeichnis 403
Stichwortverzeichnis 406
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