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Köln
Aulis-Verl. Deubner
1989
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| adam_text | Inhalt
1. Zahlen 17
1.1. Unentzifferbares Verschlüsseln (I + II) 17
1.2. Primzahlen (I + II + W) 19
1.3. Zur Verteilung der Primzahlen (I) 20
1.4. Primzahlzwillinge (I + II) 20
1.5. Gibt es beliebig große Lücken? (I c II) 21
1.6. Wie viele Primzahlen gibt es? (I? + II c W) 21
1.7. Die Verteilung der Primzahlen (II c W) 22
1.8. Natürliche Zahlen als Summen von Primzahlen (I) 23
1.9. Primzahlen aus Einser Folgen (I) 24
1.10. Noch zwei merkwürdige Primzahlen (I) 25
1.11. Mehrdeutige Zerlegbarkeit (I) 25
1.12. Teilbarkeitsregeln (I + II) 26
1.13. Zur Geschichte der Zahl n (II) 26
1.14. Magische Quadrate (I) 28
1.15. Vollkommene Zahlen (I) 29
1.16. Befreundete Zahlen (I) 31
1.17. Soziale Zahlen (I) 31
1.18. Wie viele Teiler hat eine natürliche Zahl? (I + II) 32
1.19. Das Produkt der Teiler einer natürlichen Zahl (II) 32
1.20. Die Summe der Teiler einer natürlichen Zahl (II) 33
1.21. Mersennesche Primzahlen (I cz II) 34
1.22. Fermatsche Primzahlen (I c II) 35
1.23. Ein Primzahlkriterium (II) 36
1.24. Primzahlen in arithmetischen Folgen (II) 37
1.25. Kein Primzahlgesetz (I + II) 37
1.26. Das Waring Problem (II c W) 38
1.27. Das Fermatsche Problem (II) 38
1.28. Eine „verrückte Transformation (II) 39
1.29. Die teilerfremden Reste natürlicher Zahlen (W) 40
1.30. Die Ziffernperioden in rationalen Dezimalbrüchen (W) 41
1.31. Der Kleine Fermatsche Satz (W) 43
1.32. Pseudoprimzahlen und Geheimhaltung (W) 45
1.33. Das Faktorisieren sehr großer Zahlen (I c II) 46
1.34. Der Zahlenzauberer (II c W) 48
1.35. Ein verlängerter Arm des Kopfrechnens (I) 49
1.36. Kalenderrechnen (I) 52
1.37. Zum Entstehen der Rechenzeichen (I c II) 54
1.38. Literatur 58
2. Geometrie 59
2.1. Kürzeste Wege auf Flächen (Ic II) 59
2.2. Wie scharf blickt Dein Auge? (I) 61
2.3. Sehwinkel 0,001 (I) 61
2.4. Merkwürdige Körper (I) 62
2.5. Fehleinschätzungen (I) 63
2.6. Jede Zirkel Lineal Konstruktion ist mit dem Zirkel allein ausführbar (IcIIcW) . . . 63
2.7. Die Sinnlosigkeit des Kurvenschneidens (I c II) 65
2.8. Warum sind Theatersitze z.T. zirkulär angeordnet? (I) 65
2.9. Günstigster Standort für Bildbetrachtungen (I + II) 66
2.10. Die Aufwölbung von Seen (I) 67
2.11. Die Aussicht von Berggipfeln (I) 67
2.12. Welches Gebiet versorgen geostationäre Satelliten? (II) 68
2.13. Gleichdicke (I + II) 69
2.14. Kürzester Staffettenweg (I) 70
2.15. Eilinien (I = II) 71
2.16. Überperfekte Quadrate (I + II) 71
2.17. Eine Verallgemeinerung des Höhensatzes (II) 72
2.18. Die Konstruktion des regulären 17 Ecks (11 +W) 72
2.19. Die Eulersche Polyederformel (I + II) 73
2.20. „Heronische Tetraederformel (W) 74
2.21. Das Vierfarbenproblem (I = II) 75
2.22. R4 und Vorstellung (II + W) 76
2.23. Der vierdimensionale Würfel (II + W) 76
2.24. Das Simplex S4, S„ (W) 78
2.25. Der Quader Q„ im R (W) 78
2.26. Ebenen im R4 (II c W) 79
2.27. Die gewaltlose Flucht aus der Ä3 Kugel (II c W) 80
2.28. Regelmäßige Körper imR fllcW) 80
2.29. Kombinatorische Eigentätigkeiten (II c W) 81
2.30. Gekrümmte Räume (II c W) 82
2.31. Einbetten von gekrümmten Räumen (II = W) 84
2.32. Nichteuklidische Geometrien (II e W) 85
2.33. Zwei Sätze der hyperbolischen Geometrie (II = W) 86
2.34. Die Pseudosphäre (W) 87
2.35. Ein erkenntniskritischer Gedanke (II c W) 89
2.36. Räume mit nichtganzzahliger Dimension (II cz W) 89
2.37. Literatur 91
3. Unglaubliches 92
3.1. Vorbemerkungen (I + II + W) 92
3.2. Das Möbiussche Band (I + II) 93
3.3. Nichtzerstückende Rückkehrschnitte (I + II) 95
3.4. Nichterreichbare Randpunkte (I + II) 95
3.5. Die Peano Kurve (II c W) 96
3.6. Eine Figur, die mit einer echten ihrer Teilmengen kongruent ist (II + W) 98
3.7. Der Satz von Banach Hausdorff (II + W) 99
3.8. Drei Länder mit durchlaufend gemeinsamer Grenze (II + W) 99
3.9.* Theorema egregium (W) 100
3.10. Literatur 101
4. Unmögliches 102
4.1. Konstruktionen mit vorgeschriebenen Geräten (I + II + W) 102
4.2. Der Casus irreducibilis (II c W) 105
4.3. Problematisches Halbieren (I + II) 105
4.4.* Keine ebene Landkarte ist längentreu (W) 106
4.5. Eine unausführbare Addition (I + II) 107
4.6. Der Satz von Desargues (W) 107
4.7. Literatur 108
5. Gleichungen • 109
5.1. Überholen im Straßenverkehr (I + II) 109
5.2. Fast identische Gleichungssysteme mit stark verschiedenen Lösungen (I + II) 110
5.3. Archimedes Herausforderung an Apollonius von Perga (II) 110
5.4. Multigrade Gleichungen der natürlichen Zahlen (II) 111
5.5.* Multigrade Gleichungen für Werte der Winkelfunktionen (II c W) 112
5.6.* Zur Lösung algebraischer Gleichungen (W) 115
5.7.* Große ganze Zahlen, die Einheiten sind (W) 116
5.8. Eine nützliche Verknüpfungsart (II) 118
5.9. Eine naturgegebene Verknüpfung (II) 120
5.10. Von Dimensionsgleichungen zu den natürlichen Planck Einheiten (II + W) 122
5.11. Literatur . 124
6. Funktionen, Graphen, Extrema 125
6.1. Eine falsche Vermutung (I + II) 125
6.2. Winkel und Exponentialfunktionen als transzendente Funktionen (II c W) 125
6.3. Das Fernverhalten von e 2 (II) 126
6.4. Eine Kurve mit endlicher Sprungstelle (II) 127
6.5. Eine Kurve mit Knickstelle (II) 128
6.6. Kurven konstanter Krümmung (II c W) 128
6.7. Zu und Abfahrten von Autobahnen (II = W) 129
6.8. Evolventen (II = W) 130
6.9.* Die tückische Gleichung = cos (n Jx) (W) 131
6.10. Das Fermatsche Prinzip der kürzesten Lichtlaufzeit (II) 132
6.11. Ein Versagen der hinreichenden Bedingung für Extrema (II) 133
6.12. Ausblicke zum Thema „Extremwertaufgaben (II + W) 133
6.13. Eine unerfüllbare Extremforderung (II) 135
6.14. Literatur 136
7. Potenzen . 137
7.1. Quadrate (I + II) 137
7.2. Kuben und andere Potenzen (I c: II) . 139
7.3. Was bedeutet 2 ¦ 1030 kg? (II) 139
7.4. Was bedeutet 6 • 1026 Moleküle pro kmol (II) 141
7.5. Was bedeutet E = M c1? (II) 141
7.6. Protonen im Universum ein Volumenvergleich (II) 142
7.7. Vorsicht beim Runden von Potenzexponenten! (II) 142
7.8. Was bedeutet die Verdünnung um den Faktor 10 31? (II) 143
7.9. Die größte mit drei Ziffern beschreibbare Zahl (I c II) 144
7.10. Unbenennbare Zahlenmonstra (II) 144
7.11. Die Universalbibliothek (II) 145
7.12. Literatur 146
8. Folgen, Reihen . 147
8.1. Ohne Rakete zum Mond (I = II) 147
8.2. Die von Kochsche Kurve (II) 147
8.3. Eine merkwürdige Folge (I c II) 148
8.4. Kontinuierliche Interpolation einer Folge (II c W) 149
8.5. Die Fibonaccischen Zahlen (II c W) 150
8.6. Eine leicht zu gewinnende Wette (II) 153
8.7.* Zum Lucas Lehmer Kriterium (II + W) 153
8.8. Geometrische Herleitung von Summenformeln (I c II) 154
8.9. Eine Produktdarstellung von n (II) 155
8.10. Das Wachstum der harmonischen Reihe (II) 156
8.11. Das Wachstum der hyperharmonischen Reihe (W) 156
8.12. Die Schnecke auf dem Gummiband (W) 157
8.13. Zahlentheoretische Folgen (II c W) 157
8.14. Ein einfacher Konvergenzbeweis (II + W) 158
8.15. DieReihenI^7 I2n.(,nn;.(lnnr...(W) 160
8.16.* Zahlentheoretische Eigenschaften von f(s) (W) 160
8.17. Arithmetische Folgen sukzessiver Primzahlen (II c W) 164
8.18. Reihen, deren Grenzwert man sich wünschen kann (II a W) 166
8.19. Literatur 167
9. Komplexe Zahlen 168
9.1. Einführung der komplexen Zahlen (II) 168
9.2. Tangenten aus dem Kreismittelpunkt an den Kreis (II) 171
9.3. Eine Gerade, die zu sich selbst normal ist (II) 172
9.4. Minimalgerade (II) 172
9.5. Isotrope Kurven (II c W) 172
9.6. Minimalflächen (II) 173
9.7. Die Formeln von Euler und MorvRE (II) 173
9.8. e* ist periodisch (II + W) 174
9.9. cos x = 2, x = ? (W) 175
9.10. ln( l) = ?, lni = ?(W) 175
9.11. i = ?(IIcW) 175
9.12. 1* = 2, x = ? (W) 176
9.13. Konstruieren mit komplexen geometrischen Gebilden (II c W) 176
9.14.» Die mehrdeutige Primfaktorenzerlegung im Zahlkörper #(i V^) (W) 177
9.15. Literatur 178
10. Hyperkomplexe und andere Zahlbereiche 179
10.1. Hyperkomplexe Zahlen (II = W) 179
10.2. Quaternionen (W) 180
10.3. Oktaven (W) 181
10.4. Die Cliffordschen Zahlen (II c W) 182
10.5. Nichtarchimedische Zahlen (II c W) 183
10.6. Die rationalen Zahlen sind abzählbar (II c W) 185
10.7. Die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen (II c W) 185
10.8. Transfinite Kardinalzahlen (W) 186
10.9. Die Klasse aller Kardinalzahlen (II + W) 188
10.10. Das Russellsche Paradoxon (II) 188
10.11. Ein Kreter. Eine Schultafel. Das Baby und das Krokodil (II) 189
10.12. Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz (II) 190
10.13. Eine dreiwertige Logik (II c W) 190
10.14. Literatur 191
11. Wahrscheinlichkeit 192
11.1. Iteration der Fakultät (II) 192
11.2. Zur Aussagekraft der Statistik (II) 193
11.3. Die Chance, zwei teilerfremde Zahlen zu ziehen (II) 195
11.4. Wie man n durch Nadelwerfen gewinnen kann (II) 196
11.5. Literatur 197
12. Integralrechnung 198
12.1. Körper mit vorgeschriebener Volumenformel (II) 198
12.2. Das Volumen einer Tube (II+ W) 199
12.3. Das Torusvolumen (II + W) 200
12.4. Eine nicht Riemann integrierbare Funktion (II + W) 201
12.5.* Die Verallgemeinerung von n! (W) 201
12.6. Das Vivianische Fenster (I + II + W) 204
12.7.* Halbmaliges Integrieren und Differenzieren (W) 205
12.8. Neue Funktionen durch Integrale (II cW) 206
12.9. Der Inhalt der Hyperkugel im Raum R4 (W) 207
12.10. Integrieren „glättet (II) 207
12.11. Literatur 208
A. Anhang 209
A.l. Kongruenzen 209
A.2. Eine notwendige Bedingung für vollkommene Zahlen 211
A.3. Wie lange brauchen geostationäre Satelliten für den Erdumlauf? 212
A.4. Algebraische Strukturen 213
a) Gruppen 213
b) Ringe 215
c) Zahlkörper 215
A.5. Ordnungen endlicher Gruppen 216
A.6. Gruppentafel, Beispiele 217
A.7. Matrizen 220
A.8. Die Schnecke auf dem Gummiband 223
A.9. Zwei andere Wege zu den komplexen Zahlen 224
A.10. Die Unzerlegbarkeit von a2 + b2 + c2 + d2 in C 226
A.ll. Gruppenringe 227
A.12.* Quaternionen in Matrixform 227
A.13.* Approximation der Fakultät 228
A.14.* Das uneigentliche Integral J e 2 dt 229
o
A.15.* Zum Vivianischen Fenster 230
A.16.* Das iterierte Integral 232
A.17. Literatur 232
Namen und Sachverzeichnis 233
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| author | Kranzer, Walter |
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