Formelsammlung zur numerischen Mathematik mit BASIC-Programmen:
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Mannheim u.a.
Bibliogr. Inst.
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| Item Description: | Enth. außerdem: Bau, Christian: BASIC-Programme. Pohl, Elmar: BASIC-Programme. - Spätere Aufl. u.d.T.: Engeln-Müllges, Gisela: Formelsammlung zur numerischen Mathematik mit Standard-FORTRAN-77-Programmen |
| Physical Description: | XV, 431 S. |
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| adam_text | Titel: Formelsammlung zur numerischen Mathematik mit BASIC-Programmen
Autor: Engeln-Müllges, Gisela
Jahr: 1985
IX INHALTSVERZEICHNIS. Se 1. Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse 1.1 Definition von Fehlergrößen 1.2 Dezimaldarstellung von Zahlen 1.3 Rundungsvorschriften für Dezimal zahlen 1.4 Schreibweise für Näherungszahlen und Regeln zur Bestimmung der Anzahl sicherer Stellen 1.5 Fehlerquellen 1.5.1 Der Verfahrensfehler 1.5.2 Der Eingangsfehler 1.5.3 Der Rechnungsfehler 2. Numerische Verfahren zur Lösung algebraischer und transzendenter Gleichungen 2.1 Iterationsverfahren 2.1.1 Konstruktionsmethode und Definition 2.1.2 Existenz von Lösungen und Eindeutigkeit der Lösungen 2.1.3 Konvergenz eines Iterationsverfahrens. Fehlerabschätzungen. Rechnungsfehler 2.1.4 Praktische Durchführung 2.1.4.1 Al gori thmus 2.1.4.2 Bestimmung des Startwertes 2.1.4.3 Konvergenzuntersuchung 2.1.5 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens 2.1.6 Spezielle Iterationsverfahren 2.1.6.1 Das Newtonsche Verfahren für einfache Nul 1 - stel 1 en 2.1.6.2 Das Newtonsche Verfahren für mehrfache Null- stel len 2.1.6.3 Regula falsi 2.1.6.4 Das Verfahren von Steffensen für einfache und mehrfache Nullstellen 2.1.6.5 Das Pegasus-Verfahren 2.1.6.6 Bisektion 2.2 Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen 2.2.1 Das Horner-Schema für algebraische Polynome 2.2.1.1 Das einfache Horner-Schema für reelle Ar- gumentwerte 2.2.1.2 Das einfache Horner-Schema für komplexe Argumentwerte 2.2.1.3 Das vollständige Horner-Schema für reelle Argumentwerte 2.2.1.4 Anwendungen lite 1 1 2 3 4 6 6 6 9 10 10 10 12 13 15 15 16 17 17 19 19 21 22 24 25 26 27 28 28 29 31 33
X Sei tt 2.2.2 Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen algebraischer Gleichungen 34 2.2.2.1 Vorbemerkungen und Überblick 34 2.2.2.2 Der QD-Algorithmus 35 2.2.2.3 Das Verfahren von Müller 39 2.2.2.4 Das Verfahren von Bauhuber 42 2.2.2.5 Das Verfahren von Jenkins und Traub 43 3. Verfahren zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme 44 3.1 Aufgabenstellung und Lösbarkeitsbedingungen 44 3.2 Der Gaußsche Algorithmus 45 3.3 Matrizeninversion mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus 50 3.4 Das Verfahren von Cholesky 51 3.5 Das Gauß-Jordan-Verfahren 52 3.6 Bestimmung der zu einer Matrix inversen Matrix mit dem Austauschverfahren (Pivotisieren) 53 3.7 Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen 55 3.8 Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonalen Matrizen 58 3.9 Gleichungssysteme mit fünfdiagonalen Matrizen und allgemeinen Bandmatrizen 58 3.9.1 Systeme mit fünfdiagonalen Matrizen 58 3.9.2 Gleichungssysteme mit Bandmatrizen 60 3.10 Fehler, Kondition und Nachiteration 61 3.10.1 Fehler und Kondition 61 3.10.2 Nachiteration 64 3.11 Iterationsverfahren 65 3.11.1 Vorbemerkungen 65 3.11.2 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten 65 3.11.3 Das Iterationsverfahren in Einzelschritten oder das Gauß-Seidelsehe Iterationsverfahren 71 3.11.4 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren 72 3.11.5 Relaxation beim Einzelschrittverfahren 73 3.12 Entscheidungshi1fen für die Auswahl des Verfahrens 74 3.13 Gleichungssysteme mit Blockmatrizen 76 4. Systeme nichtlinearer Gleichungen 81 4.1 Allgemeines Iterationsverfahren 81 4.2 Spezielle Iterationsverfahren 84 4.2.1 Newtonsche Verfahren 84 4.2.1.1 Das quadratisch konvergente Newton-Verfahren 84 4.2.1.2 Das gedämpfte Newton-Verfahren 86
XI Seite 4.2.2 Regula falsi 86 4.2.3 Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradientenverfahren) 87 4.2.4 Ein kombiniertes Verfahren (Such-Weg-Verfahren) 88 4.2.5 Das Verfahren von Brown 90 5. Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 91 5.1 Definitionen und Aufgabenstellungen 91 5.2 Diagonalähnliche Matrizen 92 5.3 Das Iterationsverfahren nach v. Mises 94 5.3.1 Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des zugehörigen Eigenvektors 94 5.3.2 Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes 98 5.3.3 Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren 99 5.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten im Falle hermitescher Matrizen 100 5.5 Direkte Methoden 101 5.5.1 Das Verfahren von Krylov 101 5.5.1.1 Bestimmung der Eigenwerte 101 5.5.1.2 Bestimmung der Eigenvektoren 103 5.5.2 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter symmetrischer tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD- Algorithmus 103 5.5.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach den Verfahren von Martin, Parlett, Peters, Reinsch, Wilkinson 105 6. Approximation stetiger Funktionen 107 6.1 Approximationsaufgabe und beste Approximation 107 6.2 Approximation im quadratischen Mittel 110 6.2.1 Kontinuierliche Fehlerquadratmethode von Gauß 110 6.2.2 Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauß 113 6.3 Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff-Polynome 117 6.3.1 Beste gleichmäßige Approximation. Definition 118 6.3.2 Approximation durch Tschebyscheff-Polynome 119 6.3.2.1 Einführung der Tschebyscheff-Polynome 119 6.3.2.2 Darstellung von Polynomen als Linearkombination von Tschebyscheff-Polynomen 120 6.3.2.3 Beste gleichmäßige Approximation 122 6.3.2.4 Gleichmäßige Approximation 122 6.4 Approximation periodischer Funktionen 125 6.4.1 Approximation im quadratischen Mittel 125 6.4.2 Trigonometrische Interpolation 126 6.4.3 Komplexe diskrete Fourier-Transformation 128
XII Seite 7. Interpolation und Splines 130 7.1 Aufgabenstellung zur Interpolation durch algebraische Polynome 130 7.2 Interpolationsformeln von Lagrange 131 7.2.1 Formel für beliebige Stützstellen 131 7.2.2 Formel für äquidistante Stützstellen 132 7.3 Das Interpolationsschema von Aitken für beliebige Stützstellen 132 7.4 Inverse Interpolation nach Aitken 135 7.5 Interpolationsformeln von Newton 135 7.5.1 Formel für beliebige Stützstellen 135 7.5.2 Formel für äquidistante Stützstellen 137 7.6 Interpolationsformeln für äquidistante Stützstellen mit Hilfe des Frazerdiagranms 138 7.7 Restglied der Interpolation und Aussagen zur Abschätzung des Interpolationsfehlers 143 7.8 Interpolierende Polynom-Splines dritten Grades 145 7.8.1 Problemstellung 145 7.8.2 Definition der Splinefunktionen 146 7.8.3 Berechnung der kubiscnen Splinefuriktionen 148 7.9 Hermite Splines fünften Grades 154 7.10 Polynomiale Ausgleichsspl ines dritten Grades 162 7.11 Interpolation bei Funktionen mehrerer Veränderlichen 164 7.11.1 Interpolationsformel von Lagrange 164 7.11.2 Zweidimensionale Polynom-Splines dritten Grades 166 7.12 Bezier-Splines 176 7.13 Rationale Interpolation 176 7.14 Entscheidungshilfen bei der Auswahl des zweckmäßigsten Verfahrens zur angenäherten Darstellung einer stetigen Funktion 177 8. Numerische Differentiation 180 8.1 Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoms 180 8.1.1 Berechnung der ersten Ableitung an einer beliebigen Stelle 180 8.1.2 Tabelle zur Berechnung der ersten und zweiten Ableitungen an Stützstellen 181 8.2 Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer Polynom-Splines 183 8.3 Differentiation nach dem Romberg-Verfahren 184 9. Numerische Quadratur 186 9.1 Vorbemerkungen und Motivation 186 9.2 Interpolationsquadraturformeln 186 9.2.1 Konstruktionsmethoden 186
XIII Seite 9.2.2 Newton-Cotes-Formeln 188 9.2.2.1 Die Sehnentrapezformel 189 9.2.2.2 Die Simpsonsche Formel 190 9.2.2.3 Die 3/8-Formel 191 9.2.2.4 Weitere Newton-Cotes-Formeln 192 9.2.3 Quadraturformeln von Maclaurin 194 9.2.3.1 Die Tangententrapezformel 194 9.2.3.2 Weitere Maclaurin-Formeln 195 9.2.4 Die Euler-Maclaurin-Formeln 197 9.2.5 Fehlerschätzungsformeln und Rechnungsfehler 198 9.3 Tschebyscheffsche Quadraturformeln 200 9.4 Quadraturformeln von Gauß 202 9.5 Das Verfahren von Romberg 205 9.6 Konvergenz der Quadraturformeln 207 10. Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung 208 10.1 Prinzip und Einteilung der numerischen Verfahren 208 10.2 Einschrittverfahren 209 10.2.1 Das Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy 209 10.2.2 Das Verfahren von Heun (Praediktor-Korrektor- Verfahren) 210 10.2.3 Runge-Kutta-Verfahren 212 10.2.3.1 AlIgemeiner Ansatz 212 10.2.3.2 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 213 10.2.3.3 Zusammenstellung expliziter Runge-Kutta- Verfahren 215 10.2.4 Implizite Runge-Kutta-Verfahren 218 10.3 Mehrschrittverfahren 220 10.3.1 Prinzip der Mehrschrittverfahren 220 10.3.2 Das explizite Verfahren von Adams-Bashforth 222 10.3.3 Das Praediktor-Korrektor-Verfahren von Adams- Moulton 224 10.3.4 Weitere Praediktor-Korrektor-Formeln 227 10.3.5 Das Mehrschrittverfahren von Gear 228 10.4 Fehlerschätzungsformeln und Rechnungsfehler 230 10.4.1 Fehlerschätzungsformeln 230 10.4.2 Rechnungsfehler 232 10.5 Extrapolationsverfahren 233 10.6 Entscheidungshilfen bei der Wahl des Verfahrens 235
XIV Seite 11. Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme bei Systemen von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung und bei Differentialgleichungen höherer Ordnung 236 11.1 Runge-Kutta-Verfahren 237 11.1.1 Al 1 gemeiner Ansatz 237 11.1.2 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 237 11.1.3 Runge-Kutta-Verfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung 241 11.1.4 Schrittweitensteuerung 242 11.1.5 Runge-Kutta-Fehlberg-Verfahren 243 11.1.5.1 Beschreibung des Verfahrens 243 11.1.5.2 Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung 245 11.2 Mehrschrittverfahren 248 11.3 Ein Mehrschrittverfahren für steife Systeme 251 12. Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 253 12.1 Zurückführung des Randwertproblems auf ein Anfangswertproblem 253 12.1.1 Randwertprobleme für nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 253 12.1.2 Randwertprobleme für Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 255 12.1.3 Mehrzielverfahren 257 12.2 Differenzenverfahren 260 12.2.1 Das gewöhnliche Differenzenverfahren 260 12.2.2 Differenzenverfahren höherer Näherung 266 12.2.3 Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme zu speziellen Randwertproblemen 268 12.2.4 Lineare Eigenwertprobleme 269 Anhang: BASIC-Programme 271 Verzeichnis der Programme 272 L Literaturverzeichnis 413 L.1 Lehrbücher und Monographien 413 L.2 Original arbeiten 415 L.3 Aufgaben- und Formelsammlungen, Tabellenwerke, Programmbibliotheken 416 L.4 Ergänzungen zu L.1 416 L.5 Ergänzungen zu L.2 418
XV L.6 Literatur zu hier nicht behandelten Gebieten 420 L. 6.1 Extremwerte nichtlinearer Funktionen 420 L. 6.2 Optimierung 420 L. 6.3 Nichtlineare Tschebyscheff-Approximation 420 L. 6.4 Uneigentliche Integrale 421 L. 6.5 Mehrfache Integrale 421 L. 6.6 Konforme Abbildungen 421 L. 6.7 Stabilität bei Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen 421 L. 6.8 Integralgleichungen und Variationsrechnung 422 L. 6.9 Partielle Differentialgleichungen 422 L. 6.10 Methode der finiten Elemente 423 L. 6.11 BASIC-Lehrbücher 423 Sachregister 425
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